علم المثلثات - شرح الجداول والصيغ والمعادلات خطوة بخطوة
المعادلة المثلثية الأساسية
اختر دالة وأدخل الجانب الأيمن للحصول على الصيغة العامة للجذور وشرح كيفية الحصول عليها. تتم كتابة الإجابة بالطريقة التي يتوقعها المعلم: مع n ∈ ℤ.
كيف تم حلها – خطوة بخطوة
على الرسم البياني: لماذا يوجد عدد لا نهائي من الجذور
الخط البرتقالي y = a يعبر الموجة عند نقاط الحل. يتكرر جيب الجيب وجيب التمام كل 2π (هذه هي الفترة)، لذا تشكل التقاطعات سلسلة لا نهائية - تضيف كل فترة نفس مجموعة الجذور. ومن هنا يأتي "+ 2πn" أو "+ πn" في الإجابة.
على دائرة الوحدة
يتم قياس الزاوية من محور تمام عكس اتجاه عقارب الساعة. جيب تمام الزاوية هو الإحداثي الأفقي للنقطة، وجيب التمام هو الإحداثي الرأسي. حلول sin x = a هي النقاط التي يساوي ارتفاعها a (خط أفقي)، وcos x = a هي النقاط ذات الإحداثيات الأفقية المطلوبة (خط عمودي). عادةً ما تكون هناك نقطتان من هذا القبيل على الدائرة، ومن ثم يوجد جذرين لكل دورة.
قيم الدالة للزاوية
أدخل زاوية بالدرجات (على سبيل المثال 60) أو بالراديان (على سبيل المثال π/3 أو pi/3) للحصول على sin وcos وtan وcot. بالنسبة لزوايا الجدول، تكون الإجابة دقيقة، وإلا فسيتم تقريبها إلى 6 أرقام.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
وظائف عكسية
تقوم arcsin وarccos وarctan وarccot بإرجاع الزاوية من قيمة دالة - القيمة الأساسية، بالدرجات والراديان. يتم تعريف arcsin و arccos فقط للقيم من −1 إلى 1.
جدول القيم
قيم الزوايا الرئيسية — تلك التي يُسأل عنها كثيرًا. الشرطة تعني أن الوظيفة غير محددة في تلك المرحلة.
| درجات | راديان | sin | cos | tg | ctg |
|---|
الصيغ الأساسية
الهويات
| sin²x + cos²x = 1 | الهوية الأساسية |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
مجموع الحجج
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
زاوية مزدوجة ونصف
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
صيغ التخفيض
القاعدة: بالنسبة إلى π/2 و3π/2، تنتقل الدالة إلى وظيفتها المساعدة (sin ↔ cos, tan ↔ cot); بالنسبة لـ π و 2π يبقى كما هو. العلامة مأخوذة من الربع الذي تقع فيه الزاوية الأصلية.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 النظرية: كيفية حل المعادلات الأساسية
المعادلة المثلثية الأساسية هي المساواة في الشكل sin x = a أو cos x = a أو tan x = a. ويعني حلها إيجاد جميع الزوايا التي تساوي فيها الدالة a. هناك عدد لا نهائي من هذه الزوايا: فالدوال دورية، لذا تتم كتابة الإجابة كصيغة عامة ذات معلمة عدد صحيح n.
دورة الجيب هي 2π، ولكن في الدورة تكون جذورها متماثلة حول π/2، ولهذا السبب تحتوي الصيغة على العامل (−1)ⁿ والدورة πn. جذور جيب التمام متماثلة حول الصفر — ومن هنا جاءت علامة ±. الظل له فترة π وأبسط صيغة على الإطلاق.
يتم حفظ الحالات الخاصة sin x = 0, ±1 وcos x = 0, ±1 بشكل منفصل. الصيغة العامة تناسبهم أيضًا، ولكنها كبيرة الحجم، والصيغة القصيرة توفر الوقت أثناء الاختبار.
إذا |أ| > 1، المعادلة ذات الجيب أو جيب التمام ليس لها حلول: هذه الدوال لا تترك النطاق من −1 إلى 1. ليس للظل وظل التمام مثل هذا القيد - فهم يأخذون أي قيمة.