Triqonometriya — addım-addım izah edilən cədvəllər, düsturlar və tənliklər
Əsas triqonometrik tənlik
Köklər üçün ümumi düstur və onun necə əldə edildiyini izah etmək üçün funksiyanı seçin və sağ tərəfə daxil olun. Cavab müəllimin gözlədiyi kimi yazılır: n ∈ ℤ ilə.
Necə həll edildi - addım-addım
Qrafikdə: niyə sonsuz sayda kök var
Narıncı xətt y = a həll nöqtələrində dalğa ilə keçir. Sinus və kosinus hər 2π-də təkrarlanır (bu dövrdür), buna görə də kəsişmələr sonsuz bir zəncir təşkil edir - hər dövr eyni köklər dəstini əlavə edir. Cavabdakı “+ 2πn” və ya “+ πn” buradan gəlir.
Vahid dairəsində
Bucaq cos oxundan saat yönünün əksinə ölçülür. Bucağın kosinusu nöqtənin üfüqi koordinatıdır, sinusu şaquli koordinatdır. sin x = a həlləri hündürlüyü a (üfüqi xətt) bərabər olan nöqtələrdir və cos x = a tələb olunan üfüqi koordinata (şaquli xətt) malik olan nöqtələrdir. Adətən dairədə iki belə nöqtə var - deməli, hər inqilab üçün iki kök.
Bucaq üçün funksiya dəyərləri
Sin, cos, tan və cot əldə etmək üçün dərəcə (məsələn, 60) və ya radian (məsələn, π/3 və ya pi/3) ilə bucaq daxil edin. Cədvəl bucaqları üçün cavab dəqiqdir, əks halda 6 rəqəmə yuvarlaqlaşdırılır.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Tərs funksiyalar
arcsin, arccos, arctan və arccot funksiya dəyərindən bucağı qaytarır - dərəcə və radyanla əsas dəyər. arcsin və arccos yalnız −1-dən 1-ə qədər olan qiymətlər üçün müəyyən edilir.
Dəyərlər cədvəli
Əsas bucaqlar üçün dəyərlər - ən çox soruşulanlar. Tire, funksiyanın həmin nöqtədə qeyri-müəyyən olduğunu bildirir.
| Dərəcələr | Radianlar | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Əsas formullar
Şəxsiyyətlər
| sin²x + cos²x = 1 | əsas şəxsiyyət |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Arqumentlərin cəmi
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
İkiqat və yarım bucaq
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Azaltma düsturları
Qayda: π/2 və 3π/2 üçün funksiya öz kofunksiyasına keçir (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π və 2π üçün eyni qalır. İşarə orijinal bucağın yerləşdiyi kvadrantdan götürülür.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Nəzəriyyə: əsas tənlikləri necə həll etmək olar
Əsas triqonometrik tənlik sin x = a, cos x = a və ya tan x = a formasının bərabərliyidir. Onun həlli funksiyanın a-ya bərabər olduğu bütün bucaqları tapmaq deməkdir. Belə bucaqlar sonsuzdur: funksiyalar dövri xarakter daşıyır, ona görə də cavab n tam parametrli ümumi düstur kimi yazılır.
Sinusun dövrü 2π-dir, lakin bir dövrdə onun kökləri təxminən π/2 simmetrikdir, buna görə də düsturda (−1)ⁿ əmsalı və πn dövrü var. Kosinusun kökləri sıfıra yaxın simmetrikdir - buna görə də ± işarəsi. Tangensin π dövrü və ən sadə düsturu var.
Sin x = 0, ±1 və cos x = 0, ±1 olan xüsusi hallar ayrıca yadda saxlanılır. Ümumi formula onlar üçün də işləyir, lakin həcmlidir və qısa forma imtahan zamanı vaxta qənaət edir.
Əgər |a| > 1, sinus və ya kosinusu olan tənliyin həlli yoxdur: bu funksiyalar heç vaxt −1-dən 1-ə qədər diapazonu tərk etmir. Tangens və kotangensin belə məhdudiyyəti yoxdur — onlar hər hansı qiymət alırlar.