Трыганаметрыя — значэнні, спрашчэнне і ўраўненні з разборам па кроках
Заданне
Увядзіце выраз, ураўненне або тое, што трэба спрасціць, — як у сшытку. Лік без знака градуса лічыцца градусамі, радыяны — праз π.
Як гэта рашана — па кроках
Астатнія функцыі гэтага вугла
На графіку: чаму каранёў бясконца многа
Аранжавая лінія y = a перасякае хвалю ў пунктах-рашэннях. Сінус і косінус паўтараюцца кожныя 2π (гэта перыяд), таму перасячэнні ідуць бясконцым ланцужком — за кожны перыяд дадаецца той жа набор каранёў. Адсюль «+ 2πn» або «+ πn» у адказе.
На адзінкавай акружнасці
Вугал адкладваецца ад восі cos супраць гадзіннікавай стрэлкі. Косінус вугла — гэта гарызантальная каардыната пункта, сінус — вертыкальная. Рашэнні sin x = a — гэта пункты, вышыня якіх роўная a (гарызантальная лінія), а cos x = a — пункты з патрэбнай гарызантальнай каардынатай (вертыкальная лінія). Звычайна такіх пунктаў на акружнасці два — адсюль два карані на кожным абароце.
Вугал адкладваецца ад восі cos супраць гадзіннікавай стрэлкі. Косінус — гарызантальная каардыната пункта, сінус — вертыкальная.
Прамавугольны трохвугольнік
Увядзіце любыя дзве велічыні, сярод іх хоць бы адну старану, — астатняе вылічыцца.
sin α = a/c — адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы, cos α = b/c — прылеглага катэта да гіпатэнузы, tg α = a/b — процілеглага катэта да прылеглага.
Як гэта рашана — па кроках
Табліца значэнняў
Значэнні для асноўных вуглоў — пра іх пытаюць часцей за ўсё. Прочырк азначае, што функцыя ў гэтым пункце не вызначана.
| Градусы | Радыяны | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Асноўныя формулы
Тоеснасці
| sin²x + cos²x = 1 | асноўная тоеснасць |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Складанне аргументаў
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Двайны і палавінны вугал
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Формулы прывядзення
Правіла: ад π/2 і 3π/2 функцыя мяняецца на «кафункцыю» (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), ад π і 2π — не мяняецца. Знак бярэцца па чвэрці, у якой ляжыць зыходны вугал.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Тэорыя: як рашаць найпрасцейшыя ўраўненні
Найпрасцейшае трыганаметрычнае ўраўненне — гэта роўнасць віду sin x = a, cos x = a, tg x = a. Рашыць яго азначае знайсці усе вуглы, пры якіх патрэбная функцыя роўная a. Такіх вуглоў бясконца многа: функцыі перыядычныя, таму адказ запісваюць агульнай формулай з цэлым параметрам n.
Для сінуса перыяд роўны 2π, але карані на адрэзку размешчаны сіметрычна адносна π/2, таму формула змяшчае множнік (−1)ⁿ і перыяд πn. Для косінуса карані сіметрычныя адносна нуля — адсюль знак ±. У тангенса перыяд π, і формула самая простая.
Асобна запамінаюць прыватныя выпадкі: sin x = 0, ±1 і cos x = 0, ±1. Агульная формула для іх таксама правільная, але грувасткая, а кароткі запіс эканоміць час на экзамене.
Калі |a| > 1, ураўненне з сінусам або косінусам рашэнняў не мае: гэтыя функцыі ніколі не выходзяць за межы адрэзка ад −1 да 1. У тангенса і катангенса такога абмежавання няма — яны прымаюць любыя значэнні.
Гэта бясплатна?
Так, цалкам бясплатна і без рэгістрацыі. Інструмент працуе цалкам у браўзеры: файл не сыходзіць на сервер, таму сервер не марнуе ні працэсар, ні трафік — браць грошы няма за што. Вадзяных знакаў няма, абмежаванняў па памеры і колькасці файлаў таксама.