Трыганаметрыя — табліцы, формулы і ўраўненні, якія тлумачацца крок за крокам
Асноўнае трыганаметрычнае ўраўненне
Выберыце функцыю і ўвядзіце правы бок, каб атрымаць агульную формулу для каранёў і тлумачэнне таго, як яна была атрымана. Адказ запісваецца так, як чакае настаўнік: з n ∈ ℤ.
Як вырашалася — крок за крокам
На графіцы: чаму каранёў бясконца многа
Аранжавая лінія y = a перасякае хвалю ў кропках рашэння. Сінус і косінус паўтараюцца кожныя 2π (гэта перыяд), таму перасячэнні ўтвараюць бясконцы ланцужок — кожны перыяд дадае аднолькавы набор каранёў. Вось адкуль у адказе "+ 2πn" або "+ πn".
На адзінкавай акружнасці
Вугал вымяраецца ад восі cos супраць гадзінны стрэлкі. Косінус вугла - гарызантальная каардыната пункта, сінус - вертыкальная. Рашэнні sin x = a — кропкі, вышыня якіх роўна a (гарызантальная лінія), а cos x = a — кропкі з шуканай гарызантальнай каардынатай (вертыкальная лінія). Звычайна на акружнасці два такія пункты — значыць, два карані на абарот.
Значэнні функцыі для вугла
Увядзіце вугал у градусах (напрыклад, 60) або ў радыянах (напрыклад, π/3 або pi/3), каб атрымаць sin, cos, tan і cot. Для вуглоў табліцы адказ дакладны, у адваротным выпадку акругляецца да 6 знакаў.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Адваротныя функцыі
arcsin, arccos, arctan і arccot вяртаюць вугал ад значэння функцыі — галоўнага значэння ў градусах і радыянах. arcsin і arccos вызначаны толькі для значэнняў ад −1 да 1.
Табліца значэнняў
Значэнні асноўных ракурсаў — тых, пра якія задаюць часцей за ўсё. Працяжнік азначае, што функцыя ў гэты момант не вызначана.
| Ступені | Радыяны | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Асноўныя формулы
Ідэнтычнасці
| sin²x + cos²x = 1 | фундаментальная ідэнтычнасць |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Сума аргументаў
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Двайны і паўвугольнік
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Формулы скарачэння
Правіла: для π/2 і 3π/2 функцыя пераключаецца ў сваю кафункцыю (sin ↔ cos, tan ↔ cot); для π і 2π ён застаецца нязменным. Знак бярэцца з квадранца, у якім знаходзіцца зыходны вугал.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Тэорыя: як рашаць асноўныя ўраўненні
Асноўнае трыганаметрычнае ўраўненне - гэта роўнасць выгляду sin x = a, cos x = a або tan x = a. Вырашыць яе азначае знайсці ўсе вуглы, пры якіх функцыя роўна a. Такіх вуглоў бясконца шмат: функцыі перыядычныя, таму адказ запісваецца ў выглядзе агульнай формулы з цэлым параметрам n.
Перыяд сінуса роўны 2π, але на перыядзе яго карані сіметрычныя адносна π/2, таму формула змяшчае множнік (−1)ⁿ і перыяд πn. Карані косінуса сіметрычныя адносна нуля — адсюль і знак ±. Тангенс мае перыяд π і самую простую формулу з усіх.
Асаблівыя выпадкі sin x = 0, ±1 і cos x = 0, ±1 запамінаюцца асобна. Агульная формула таксама працуе для іх, але яна грувасткая, а кароткая форма эканоміць час на экзамене.
Калі |а| > 1, ураўненне з сінусам або косінусам не мае рашэнняў: гэтыя функцыі ніколі не выходзяць з дыяпазону ад −1 да 1. Тангенс і катангенс не маюць такога абмежавання — яны прымаюць любое значэнне.