Тригонометрия — таблици, формули и уравнения, обяснени стъпка по стъпка
Основно тригонометрично уравнение
Изберете функция и въведете дясната страна, за да получите общата формула за корените и обяснение как е получена. Отговорът е написан по начина, по който учителят го очаква: с n ∈ ℤ.
Как беше решен - стъпка по стъпка
На графиката: защо има безкрайно много корени
Оранжевата линия y = a пресича вълната в точките на решение. Синус и косинус се повтарят на всеки 2π (това е периодът), така че пресечните точки образуват безкрайна верига — всеки период добавя същия набор от корени. Ето откъде идва „+ 2πn“ или „+ πn“ в отговора.
На единичната окръжност
Ъгълът се измерва от оста cos обратно на часовниковата стрелка. Косинусът на ъгъла е хоризонталната координата на точката, синусът е вертикалната. Решенията на sin x = a са точките, чиято височина е равна на a (хоризонтална линия), а cos x = a са точките с търсената хоризонтална координата (вертикална линия). Обикновено има две такива точки на окръжността - следователно два корена на оборот.
Функционални стойности за ъгъл
Въведете ъгъл в градуси (например 60) или в радиани (например π/3 или pi/3), за да получите sin, cos, tan и cot. За ъглите на таблицата отговорът е точен, в противен случай се закръгля до 6 цифри.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Обратни функции
arcsin, arccos, arctan и arccot връщат ъгъла от стойност на функция — основната стойност, в градуси и радиани. arcsin и arccos се дефинират само за стойности от −1 до 1.
Таблица със стойности
Стойности за основните ъгли — тези, за които се пита най-често. Тире означава, че функцията е недефинирана в този момент.
| Степени | Радиани | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Основни формули
Идентичности
| sin²x + cos²x = 1 | фундаменталната идентичност |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Сума от аргументи
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Двоен и полуъгъл
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Формули за намаляване
Правилото: за π/2 и 3π/2 функцията превключва към своята кофункция (sin ↔ cos, tan ↔ cot); за π и 2π остава същото. Знакът се взема от квадранта, в който се намира първоначалният ъгъл.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Теория: как да решаваме основни уравнения
Основното тригонометрично уравнение е равенство във формата sin x = a, cos x = a или tan x = a. Решаването му означава намиране на всички ъгли, при които функцията е равна на a. Има безкрайно много такива ъгли: функциите са периодични, така че отговорът се записва като обща формула с целочислен параметър n.
Периодът на синуса е 2π, но върху период неговите корени са симетрични относно π/2, поради което формулата съдържа фактора (−1)ⁿ и периода πn. Корените на косинуса са симетрични спрямо нула - оттук и знакът ±. Тангенсът има период π и най-простата формула от всички.
Специалните случаи sin x = 0, ±1 и cos x = 0, ±1 се запаметяват отделно. Общата формула работи и при тях, но е обемиста, а кратката форма спестява време по време на изпит.
Ако |a| > 1, уравнение със синус или косинус няма решения: тези функции никога не излизат от диапазона от −1 до 1. Тангенсът и котангенсът нямат такова ограничение — те приемат всякаква стойност.