Тригонометрия — стойности, опростяване и уравнения с обяснение стъпка по стъпка
Задача
Въведете израз, уравнение или това, което трябва да се опрости — така, както бихте го написали в тетрадката. Число без знак за градус се чете като градуси, радианите пишете чрез π.
Как е решено — стъпка по стъпка
Останалите функции на този ъгъл
На графиката: защо корените са безброй много
Оранжевата права y = a пресича вълната в точките, които са решения. Синусът и косинусът се повтарят през всеки 2π (това е периодът), затова пресечните точки образуват безкрайна верига — всеки период добавя същия набор корени. Оттук идва „+ 2πn“ или „+ πn“ в отговора.
На единичната окръжност
Ъгълът се измерва от оста cos обратно на часовниковата стрелка. Косинусът на ъгъла е хоризонталната координата на точката, а синусът — вертикалната. Решенията на sin x = a са точките, чиято височина е равна на a (хоризонтална права), а решенията на cos x = a — точките с нужната хоризонтална координата (вертикална права). Обикновено такива точки на окръжността са две — оттук и двата корена на всеки пълен оборот.
Ъгълът се измерва от оста cos обратно на часовниковата стрелка. Косинусът е хоризонталната координата на точката, а синусът — вертикалната.
Правоъгълен триъгълник
Въведете кои да е две величини, поне едната от тях страна, и останалото ще се пресметне.
sin α = a/c — отношението на срещулежащия катет към хипотенузата, cos α = b/c — на прилежащия катет към хипотенузата, tg α = a/b — на срещулежащия катет към прилежащия.
Как е решено — стъпка по стъпка
Таблица на стойностите
Стойности за основните ъгли — за тях питат най-често. Тире означава, че функцията не е дефинирана в тази точка.
| Градуси | Радиани | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Основни формули
Тъждества
| sin²x + cos²x = 1 | основно тъждество |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Формули за събиране
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Двоен и половин ъгъл
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Формули за привеждане
Правило: при π/2 и 3π/2 функцията се сменя със своята „кофункция“ (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), а при π и 2π не се сменя. Знакът се определя от квадранта, в който лежи първоначалният ъгъл.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Теория: как се решават основните тригонометрични уравнения
Основно тригонометрично уравнение е равенство от вида sin x = a, cos x = a, tg x = a. Да го решим означава да намерим всички ъгли, за които съответната функция е равна на a. Такива ъгли има безброй много: функциите са периодични, затова отговорът се записва с обща формула с целочислен параметър n.
При синуса периодът е 2π, но в рамките на един период корените му са симетрични относно π/2, затова формулата съдържа множителя (−1)ⁿ и периода πn. При косинуса корените са симетрични относно нулата — оттук и знакът ±. Тангенсът има период π и най-простата формула.
Частните случаи sin x = 0, ±1 и cos x = 0, ±1 се запомнят отделно. Общата формула важи и за тях, но е тромава, а краткият запис пести време на изпита.
Ако |a| > 1, уравнение със синус или косинус няма решения: тези функции никога не излизат извън интервала от −1 до 1. Тангенсът и котангенсът нямат такова ограничение — те приемат всякакви стойности.
Безплатно ли е?
Да, напълно безплатно и без регистрация. Инструментът работи изцяло в браузъра ви: файлът не заминава към сървър, затова сървърът не харчи нито процесор, нито трафик — няма за какво да се плаща. Без водни знаци, без ограничения за размера и броя на файловете.