ত্রিকোণমিতি — মান, সরলীকরণ ও সমীকরণ, ধাপে ধাপে ব্যাখ্যাসহ

সমস্যা

রাশি, সমীকরণ বা যা সরল করতে হবে, খাতায় যেভাবে লেখেন ঠিক সেভাবে লিখুন। ডিগ্রি চিহ্ন ছাড়া সংখ্যাকে ডিগ্রি ধরা হয়; রেডিয়ানের জন্য π ব্যবহার করুন।

সূত্রে সন্নিবেশ করান:
চেষ্টা করে দেখুন:

কীভাবে সমাধান হলো — ধাপে ধাপে

সমকোণী ত্রিভুজ

যেকোনো দুটি মান দিন, যার অন্তত একটি বাহু — বাকিগুলো হিসাব হয়ে যাবে।

sin α = a/c — বিপরীত বাহু ও অতিভুজের অনুপাত, cos α = b/c — সন্নিহিত বাহু ও অতিভুজের অনুপাত, tan α = a/b — বিপরীত বাহু ও সন্নিহিত বাহুর অনুপাত।

কীভাবে সমাধান হলো — ধাপে ধাপে

মানের সারণি

প্রধান কোণগুলোর মান — যেগুলো সবচেয়ে বেশি জিজ্ঞাসা করা হয়। ড্যাশ মানে ওই বিন্দুতে ফাংশনটি অসংজ্ঞায়িত।

ডিগ্রি রেডিয়ান sin cos tg ctg

মূল সূত্রাবলি

অভেদাবলি

sin²x + cos²x = 1 মৌলিক অভেদ
tg x = sin x / cos x ctg x = cos x / sin x
tg x · ctg x = 1 1 + tg²x = 1/cos²x

যৌগিক কোণ

sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β
cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β
tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β)

দ্বিগুণ কোণ ও অর্ধকোণ

sin 2α = 2·sin α·cos α
cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
sin²α = (1 − cos 2α)/2 cos²α = (1 + cos 2α)/2

সংযুক্ত কোণের সূত্র

নিয়ম: π/2 ও 3π/2-এর ক্ষেত্রে ফাংশন বদলে যায় (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π ও 2π-এর ক্ষেত্রে একই থাকে। চিহ্ন নেওয়া হয় সেই চতুর্ভাগ অনুযায়ী, যেখানে প্রদত্ত কোণটি অবস্থিত।

sin(π/2 − α) = cos α cos(π/2 − α) = sin α
sin(π − α) = sin α cos(π − α) = −cos α
sin(π + α) = −sin α cos(π + α) = −cos α
sin(2π − α) = −sin α cos(2π − α) = cos α
📚 তত্ত্ব: সরল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ কীভাবে সমাধান করবেন

সরল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হলো sin x = a, cos x = a বা tan x = a আকারের সমতা। এটি সমাধান করা মানে সেই সব কোণ খুঁজে বের করা, যেখানে ফাংশনের মান a। এমন কোণ অসংখ্য: ফাংশনগুলো পর্যায়বৃত্ত, তাই উত্তর লেখা হয় পূর্ণসংখ্যা পরামিতি n সহ একটি সাধারণ সূত্রের আকারে।

সাইনের পর্যায় 2π, কিন্তু এক পর্যায়ে এর মূলগুলো π/2-এর সাপেক্ষে প্রতিসম, তাই সূত্রে থাকে গুণক (−1)ⁿ এবং পর্যায় πn। কোসাইনের মূলগুলো শূন্যের সাপেক্ষে প্রতিসম — সেখান থেকেই ± চিহ্ন। ট্যানজেন্টের পর্যায় π, আর তার সূত্রই সবচেয়ে সরল।

বিশেষ ক্ষেত্র sin x = 0, ±1 এবং cos x = 0, ±1 আলাদা করে মনে রাখা হয়। সাধারণ সূত্র এগুলোর জন্যও সঠিক, কিন্তু দীর্ঘ, আর সংক্ষিপ্ত রূপ পরীক্ষায় সময় বাঁচায়।

যদি |a| > 1 হয়, তবে সাইন বা কোসাইনের সমীকরণের কোনো সমাধান নেই: এই ফাংশনগুলো কখনো −1 থেকে 1-এর সীমার বাইরে যায় না। ট্যানজেন্ট ও কোট্যানজেন্টের এমন কোনো সীমাবদ্ধতা নেই — এরা যেকোনো মান নিতে পারে।

এটা কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ, সম্পূর্ণ বিনামূল্যে এবং নিবন্ধন ছাড়াই। টুলটি পুরোপুরি আপনার ব্রাউজারে চলে: ফাইল কখনও সার্ভারে যায় না, তাই সার্ভারের প্রসেসর বা ট্রাফিক কিছুই খরচ হয় না — টাকা নেওয়ার কারণই নেই। কোনো ওয়াটারমার্ক নেই, ফাইলের আকার বা সংখ্যার সীমাও নেই।