ত্রিকোণমিতি — টেবিল, সূত্র এবং সমীকরণ ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা করা হয়েছে
মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
একটি ফাংশন বেছে নিন এবং শিকড়ের সাধারণ সূত্র এবং এটি কীভাবে প্রাপ্ত হয়েছে তার ব্যাখ্যা পেতে ডানদিকে প্রবেশ করুন। একজন শিক্ষক যেভাবে আশা করেন উত্তরটি লেখা হয়: n ∈ ℤ দিয়ে।
এটি কীভাবে সমাধান করা হয়েছিল - ধাপে ধাপে
গ্রাফে: কেন অসীমভাবে অনেকগুলি শিকড় রয়েছে
কমলা রেখা y = a সমাধান বিন্দুতে তরঙ্গ অতিক্রম করে। সাইন এবং কোসাইন প্রতি 2π (এটি পিরিয়ড) পুনরাবৃত্তি করে, তাই ছেদগুলি একটি অসীম শৃঙ্খল গঠন করে — প্রতিটি পিরিয়ড একই শিকড়ের সেট যোগ করে। যেখান থেকে উত্তরে "+ 2πn" বা "+ πn" এসেছে।
ইউনিট বৃত্ত উপর
কোণটি কোস অক্ষ থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে পরিমাপ করা হয়। কোণের কোসাইন হল বিন্দুর অনুভূমিক স্থানাঙ্ক, সাইন হল উল্লম্ব। sin x = a-এর সমাধান হল বিন্দু যার উচ্চতা সমান a (একটি অনুভূমিক রেখা), এবং cos x = a হল প্রয়োজনীয় অনুভূমিক স্থানাঙ্ক (একটি উল্লম্ব রেখা) সহ বিন্দু। সাধারণত বৃত্তে এরকম দুটি বিন্দু থাকে — তাই প্রতি বিপ্লবে দুটি মূল।
একটি কোণের জন্য ফাংশন মান
sin, cos, tan এবং cot পেতে ডিগ্রিতে একটি কোণ লিখুন (উদাহরণস্বরূপ 60) বা রেডিয়ানে (উদাহরণস্বরূপ π/3 বা পাই/3)। টেবিল কোণগুলির জন্য উত্তরটি সঠিক, অন্যথায় এটি 6 সংখ্যায় বৃত্তাকার হয়।
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
বিপরীত ফাংশন
arcsin, arccos, arctan এবং arccot একটি ফাংশন মান থেকে কোণ ফিরিয়ে দেয় — প্রধান মান, ডিগ্রি এবং রেডিয়ানে। arcsin এবং arccos শুধুমাত্র −1 থেকে 1 পর্যন্ত মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।
মান সারণী
প্রধান কোণগুলির জন্য মানগুলি — যেগুলি প্রায়শই জিজ্ঞাসা করা হয়৷ একটি ড্যাশ মানে ফাংশনটি সেই সময়ে অনির্ধারিত।
| ডিগ্রি | রেডিয়ান | sin | cos | tg | ctg |
|---|
মূল সূত্র
পরিচয়
| sin²x + cos²x = 1 | মৌলিক পরিচয় |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
যুক্তির যোগফল
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
দ্বিগুণ এবং অর্ধকোণ
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
কমানোর সূত্র
নিয়ম: π/2 এবং 3π/2 এর জন্য ফাংশনটি তার সহযোগে চলে যায় (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π এবং 2π এর জন্য এটি একই থাকে। চিহ্নটি মূল কোণটি চতুর্ভুজ থেকে নেওয়া হয়েছে।
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 তত্ত্ব: মৌলিক সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করা যায়
একটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হল sin x = a, cos x = a বা tan x = a ফর্মের একটি সমতা। এটি সমাধান করার অর্থ হল সমস্ত কোণ খুঁজে পাওয়া যেখানে ফাংশনটি a সমান। এই ধরনের অসীম অনেকগুলি কোণ রয়েছে: ফাংশনগুলি পর্যায়ক্রমিক, তাই উত্তরটি একটি পূর্ণসংখ্যা প্যারামিটার n সহ একটি সাধারণ সূত্র হিসাবে লেখা হয়।
সাইনের সময়কাল 2π, কিন্তু একটি পিরিয়ডে এর শিকড়গুলি প্রায় π/2 প্রতিসম হয়, এই কারণে সূত্রটিতে ফ্যাক্টর (−1)ⁿ এবং পিরিয়ড πn থাকে। কোসাইনের শিকড়গুলি প্রায় শূন্যের সমান — তাই ± চিহ্ন। স্পর্শকটির পিরিয়ড π এবং সব থেকে সহজ সূত্র আছে।
বিশেষ ক্ষেত্রে sin x = 0, ±1 এবং cos x = 0, ±1 আলাদাভাবে মুখস্থ করা হয়। সাধারণ সূত্রটি তাদের জন্যও কাজ করে, তবে এটি ভারী, এবং সংক্ষিপ্ত ফর্মটি পরীক্ষার সময় সময় বাঁচায়।
যদি |a| > 1, সাইন বা কোসাইন সহ একটি সমীকরণের কোন সমাধান নেই: এই ফাংশনগুলি কখনই −1 থেকে 1 পর্যন্ত পরিসীমা ছেড়ে যায় না। স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের এই ধরনের কোনও সীমাবদ্ধতা নেই — তারা কোনও মান নেয়।