Ableitungen und Integrale — wir rechnen und erklären, was sie bedeuten
Funktion f(x)
Ableitung
Die Ableitung f′(x) zeigt, wie schnell sich f(x) an jedem Punkt ändert: Sie ist die „Wachstumsgeschwindigkeit“ der Funktion. Ist f(x) der zurückgelegte Weg, dann ist f′(x) die Geschwindigkeit auf dem Tacho.
f″(x) ist die zweite Ableitung: die Änderungsrate der Geschwindigkeit selbst (im Auto-Beispiel — die Beschleunigung).
Die Zahl f′(x₀) ist die Steigung der Tangente — der Geraden, die sich am Punkt x₀ an den Graphen schmiegt. Positive Steigung — die Funktion wächst, negative — sie fällt, null — ein Gipfel oder ein Tal.
Bestimmtes Integral
Das Integral ∫ f(x) von a bis b ist die Fläche zwischen dem Graphen und der X-Achse. Ist f(x) eine Geschwindigkeit, so ist das Integral der gesamte zurückgelegte Weg. Abschnitte unter der X-Achse zählen mit Minuszeichen.
📚 Theorie: Was ist eine Ableitung
Die Ableitung ist der zentrale Begriff der Analysis. Formal ist sie der Grenzwert des Differenzenquotienten: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h für h → 0. Klingt furchteinflößend, aber der Sinn ist einfach: Wir schauen, um wie viel sich die Funktion bei einem winzigen Schritt ändert, teilen durch die Schrittlänge — und erhalten die Änderungsrate.
Beispiel: f(x) = x². An der Stelle x = 3 ist die Ableitung f′(3) = 6. Das heißt: Nahe x = 3 wächst die Funktion mit „6 Einheiten y pro 1 Einheit x“. Zeichnen Sie x² in unserem Plotter — und Sie sehen, dass die Parabel dort tatsächlich steil ansteigt.
Differenzieren ist einfach der Vorgang, die Ableitung zu finden. Es folgt Regeln: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen, ein Produkt folgt der Produktregel (u·v)′ = u′·v + u·v′, verschachtelte Funktionen der Kettenregel: erst die äußere Funktion ableiten, dann mit der Ableitung der inneren multiplizieren.
Wo die Ableitung null ist, „erstarrt“ die Funktion für einen Moment — dort liegen die Gipfel und Täler des Graphen (Extrema). So helfen Ableitungen, Maxima und Minima zu finden — von der Flugbahn eines Balls bis zum Gewinn einer Firma.
📚 Theorie: Was ist ein Integral
Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist der Flächeninhalt der Figur zwischen dem Graphen von f(x) und der X-Achse auf dem Abschnitt von a bis b. Stellen Sie sich vor, die Figur wird in Tausende schmale senkrechte Streifen geschnitten: Die Fläche jedes Streifens ist ≈ f(x)·(Streifenbreite), und das Integral ist die Summe aller Streifen bei unendlich feiner Zerlegung.
Alltagsbedeutung: Ist f(t) Ihre Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t, dann ist das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit der gesamte zurückgelegte Weg. Genau so „integriert“ der Kilometerzähler den Tacho.
Integrieren und Differenzieren sind zueinander inverse Operationen (das besagt der Hauptsatz der Analysis, die Newton-Leibniz-Formel): Das Integral einer Ableitung liefert die ursprüngliche Funktion zurück. Leiten Sie x² ab, erhalten Sie 2x — und das Integral von 2x von 0 bis 3 ergibt wieder 9 = 3².
Unser Rechner berechnet das Integral numerisch: Er zerlegt den Abschnitt in kleine Stücke und summiert sie sorgfältig (Simpson-Verfahren). So kommt er auch mit Funktionen zurecht, die keine „schöne“ Stammfunktion haben.