Trigonometrie – Tabellen, Formeln und Gleichungen Schritt für Schritt erklärt
Grundlegende trigonometrische Gleichung
Wählen Sie eine Funktion aus und geben Sie sie auf der rechten Seite ein, um die allgemeine Formel für die Wurzeln und eine Erklärung zu erhalten, wie sie ermittelt wurde. Die Antwort wird so geschrieben, wie ein Lehrer sie erwartet: mit n ∈ ℤ.
Wie es gelöst wurde – Schritt für Schritt
Auf der Grafik: Warum es unendlich viele Wurzeln gibt
Die orange Linie y = a kreuzt die Welle an den Lösungspunkten. Sinus und Cosinus wiederholen sich alle 2π (das ist die Periode), sodass die Schnittpunkte eine unendliche Kette bilden – jede Periode fügt denselben Satz Wurzeln hinzu. Daher kommt das „+ 2πn“ oder „+ πn“ in der Antwort.
Auf dem Einheitskreis
Der Winkel wird von der Cos-Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Der Kosinus des Winkels ist die horizontale Koordinate des Punktes, der Sinus die vertikale. Die Lösungen von sin x = a sind die Punkte, deren Höhe gleich a (einer horizontalen Linie) ist, und cos x = a sind die Punkte mit der erforderlichen horizontalen Koordinate (einer vertikalen Linie). Normalerweise gibt es zwei solcher Punkte auf dem Kreis – also zwei Wurzeln pro Umdrehung.
Funktionswerte für einen Winkel
Geben Sie einen Winkel in Grad (zum Beispiel 60) oder im Bogenmaß (zum Beispiel π/3 oder pi/3) ein, um Sin, Cos, Tan und Cot zu erhalten. Bei Tischwinkeln ist die Antwort exakt, ansonsten wird auf 6 Stellen gerundet.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Umkehrfunktionen
arcsin, arccos, arctan und arccot geben den Winkel eines Funktionswerts zurück – den Hauptwert, in Grad und Bogenmaß. arcsin und arccos sind nur für Werte von −1 bis 1 definiert.
Wertetabelle
Werte für die Hauptwinkel – diejenigen, nach denen am häufigsten gefragt wird. Ein Bindestrich bedeutet, dass die Funktion zu diesem Zeitpunkt undefiniert ist.
| Abschlüsse | Bogenmaß | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Kernformeln
Identitäten
| sin²x + cos²x = 1 | die grundlegende Identität |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Summe der Argumente
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Doppelter und halber Winkel
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Reduktionsformeln
Die Regel: Für π/2 und 3π/2 wechselt die Funktion in ihre Kofunktion (sin ↔ cos, tan ↔ cot); für π und 2π bleibt es gleich. Das Vorzeichen wird aus dem Quadranten übernommen, in dem der ursprüngliche Winkel liegt.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Theorie: Wie man grundlegende Gleichungen löst
Eine grundlegende trigonometrische Gleichung ist eine Gleichheit der Form sin x = a, cos x = a oder tan x = a. Um es zu lösen, müssen alle Winkel gefunden werden, bei denen die Funktion gleich a ist. Es gibt unendlich viele solcher Winkel: Die Funktionen sind periodisch, daher wird die Antwort als allgemeine Formel mit einem ganzzahligen Parameter n geschrieben.
Die Periode des Sinus beträgt 2π, aber auf einer Periode sind seine Wurzeln symmetrisch um π/2, weshalb die Formel den Faktor (−1)ⁿ und die Periode πn enthält. Die Wurzeln des Kosinus sind symmetrisch um Null – daher das ±-Zeichen. Der Tangens hat die Periode π und die einfachste Formel von allen.
Die Sonderfälle sin x = 0, ±1 und cos x = 0, ±1 werden separat gespeichert. Die allgemeine Formel funktioniert auch für sie, ist aber sperrig und die Kurzform spart Zeit bei einer Prüfung.
Wenn |a| > 1, eine Gleichung mit einem Sinus oder einem Cosinus hat keine Lösungen: Diese Funktionen verlassen nie den Bereich von −1 bis 1. Für Tangens und Kotangens gibt es keine solche Einschränkung – sie nehmen jeden Wert an.