Matrizenrechner — jeder Schritt so aufgeschrieben, wie Sie ihn auf Papier schreiben würden

Das Gauß-Verfahren ist die wichtigste Technik für Matrizen. Drei elementare Zeilenumformungen sind erlaubt: zwei Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren und zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen addieren. Sie ändern die Lösungen des Systems nicht.

Die Determinante ist eine Zahl, die zeigt, ob die Matrix singulär ist. Wenn det A = 0, hat die Matrix keine Inverse und das System A·x = b keine eindeutige Lösung. Für 2×2 gilt det = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁; größere Matrizen werden nach der ersten Zeile entwickelt: jedes ihrer Elemente wird mit seinem Kofaktor Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ multipliziert, wobei der Minor Mᵢⱼ die Determinante der Matrix ohne Zeile i und Spalte j ist.

Die inverse Matrix wird nach der Formel A⁻¹ = (1/det A)·adj A berechnet: die Kofaktoren aller Elemente bestimmen, in eine Matrix schreiben, diese transponieren (das ergibt die adjungierte Matrix adj A) und jedes Element durch die Determinante teilen. Probe: A·A⁻¹ = E.

Der Rang ist die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen in Stufenform, also wie viele Gleichungen wirklich unabhängig sind.

Matrizenmultiplikation: Das Element cᵢⱼ ist das Skalarprodukt der Zeile i der ersten Matrix und der Spalte j der zweiten. Deshalb muss die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B sein, und im Allgemeinen gilt A×B ≠ B×A.

Die Zellen akzeptieren ganze Zahlen, Dezimalzahlen (1.5) und Brüche (2/3) — alle Berechnungen laufen mit exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler.