Derivadas e integrales — las calculamos y explicamos qué significan
Función f(x)
Derivada
La derivada f′(x) muestra qué tan rápido cambia f(x) en cada punto: es la «velocidad de crecimiento» de la función. Si f(x) es la distancia recorrida, entonces f′(x) es la velocidad del velocímetro.
f″(x) es la segunda derivada: la velocidad de cambio de la propia velocidad (en el ejemplo del coche, la aceleración).
El número f′(x₀) es la pendiente de la recta tangente — la recta que se pega a la gráfica en x₀. Pendiente positiva — la función crece; negativa — decrece; cero — una cima o un valle.
Integral definida
La integral ∫ f(x) de a a b es el área entre la gráfica y el eje X. Si f(x) es una velocidad, la integral es toda la distancia recorrida. Las partes por debajo del eje X cuentan con signo menos.
📚 Teoría: qué es una derivada
La derivada es la noción central del cálculo. Formalmente es el límite del cociente de incrementos: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h cuando h → 0. Suena aterrador, pero el sentido es simple: miramos cuánto cambió la función en un paso diminuto, dividimos por la longitud del paso — y obtenemos la velocidad de cambio.
Ejemplo: f(x) = x². En el punto x = 3 la derivada es f′(3) = 6. Significa: cerca de x = 3 la función crece a razón de «6 unidades de y por 1 unidad de x». Dibuja x² en nuestro graficador y verás que la parábola allí sube realmente empinada.
Derivar es simplemente el proceso de hallar la derivada. Sigue reglas: la derivada de una suma es la suma de derivadas, un producto usa la regla del producto (u·v)′ = u′·v + u·v′, y las funciones anidadas usan la regla de la cadena: primero se deriva la función exterior y luego se multiplica por la derivada de la interior.
Donde la derivada es cero, la función se «congela» por un instante — ahí están las cimas y valles de la gráfica (extremos). Así las derivadas ayudan a encontrar máximos y mínimos — desde la trayectoria de un balón hasta el beneficio de una empresa.
📚 Teoría: qué es una integral
La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx es el área de la figura entre la gráfica de f(x) y el eje X en el segmento de a a b. Imagina que la figura se corta en miles de franjas verticales estrechas: el área de cada una es ≈ f(x)·(ancho de la franja), y la integral es la suma de todas las franjas con un corte infinitamente fino.
Sentido cotidiano: si f(t) es tu velocidad en el instante t, la integral de la velocidad respecto al tiempo es toda la distancia recorrida. Exactamente así el cuentakilómetros «integra» el velocímetro.
Integrar y derivar son operaciones mutuamente inversas (eso afirma la fórmula de Newton-Leibniz, el teorema fundamental del cálculo): la integral de una derivada devuelve la función original. Deriva x² y obtienes 2x — y la integral de 2x de 0 a 3 vuelve a dar 9 = 3².
Nuestra calculadora calcula la integral numéricamente: divide el segmento en trocitos y los suma con cuidado (método de Simpson). Por eso puede con funciones que no tienen una primitiva «bonita».
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