Trigonometría: tablas, fórmulas y ecuaciones explicadas paso a paso
Ecuación trigonométrica básica
Elija una función e ingrese el lado derecho para obtener la fórmula general de las raíces y una explicación de cómo se obtuvo. La respuesta está escrita como la espera un profesor: con n ∈ ℤ.
Cómo se resolvió: paso a paso
En el gráfico: por qué hay infinitas raíces
La línea naranja y = a cruza la onda en los puntos de solución. El seno y el coseno se repiten cada 2π (este es el período), por lo que las intersecciones forman una cadena infinita: cada período suma el mismo conjunto de raíces. De ahí viene el “+ 2πn” o “+ πn” en la respuesta.
En el círculo unitario
El ángulo se mide desde el eje cos en sentido antihorario. El coseno del ángulo es la coordenada horizontal del punto, el seno es la vertical. Las soluciones de sin x = a son los puntos cuya altura es igual a a (una línea horizontal), y cos x = a son los puntos con la coordenada horizontal requerida (una línea vertical). Generalmente hay dos de estos puntos en el círculo y, por tanto, dos raíces por revolución.
Valores de función para un ángulo
Introduzca un ángulo en grados (por ejemplo, 60) o en radianes (por ejemplo, π/3 o pi/3) para obtener sin, cos, tan y cot. Para los ángulos de la tabla la respuesta es exacta, en caso contrario se redondea a 6 dígitos.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Funciones inversas
arcsin, arccos, arctan y arccot devuelven el ángulo a partir de un valor de función: el valor principal, en grados y radianes. arcsin y arccos se definen solo para valores de −1 a 1.
tabla de valores
Valores de los ángulos principales, sobre los que se pregunta con más frecuencia. Un guión significa que la función no está definida en ese punto.
| Grados | radianes | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Fórmulas básicas
Identidades
| sin²x + cos²x = 1 | la identidad fundamental |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Suma de argumentos
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Ángulo doble y medio
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Fórmulas de reducción
La regla: para π/2 y 3π/2 la función cambia a su cofunción (sen ↔ cos, tan ↔ cot); para π y 2π permanece igual. El signo se toma del cuadrante en el que se encuentra el ángulo original.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teoría: cómo resolver ecuaciones básicas.
Una ecuación trigonométrica básica es una igualdad de la forma sin x = a, cos x = a o tan x = a. Resolverlo significa encontrar todos los ángulos en los que la función es igual a a. Hay infinitos ángulos de este tipo: las funciones son periódicas, por lo que la respuesta se escribe como una fórmula general con un parámetro entero n.
El período del seno es 2π, pero en un período sus raíces son simétricas respecto a π/2, por lo que la fórmula contiene el factor (−1)ⁿ y el período πn. Las raíces del coseno son simétricas con respecto a cero; de ahí el signo ±. La tangente tiene periodo π y la fórmula más sencilla de todas.
Los casos especiales sen x = 0, ±1 y cos x = 0, ±1 se memorizan por separado. La fórmula general también les funciona, pero es voluminosa y la forma breve ahorra tiempo durante un examen.
Si |a| > 1, una ecuación con seno o coseno no tiene soluciones: estas funciones nunca salen del rango de −1 a 1. La tangente y la cotangente no tienen tal restricción: toman cualquier valor.