مثلثات — مقدار، ساده‌سازی و معادله‌ها با توضیح گام‌به‌گام

مسئله

عبارت، معادله یا چیزی را که باید ساده شود، همان‌طور که در دفترتان می‌نویسید وارد کنید. عدد بدون علامت درجه بر حسب درجه خوانده می‌شود؛ برای رادیان از π استفاده کنید.

در فرمول وارد کنید:
امتحان کنید:

روش حل — گام‌به‌گام

مثلث قائم‌الزاویه

هر دو مقداری را وارد کنید که دست‌کم یکی از آن‌ها ضلع باشد؛ بقیه حساب می‌شود.

sin α = a/c — نسبت ضلع مقابل به وتر، cos α = b/c — نسبت ضلع مجاور به وتر، tan α = a/b — نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور.

روش حل — گام‌به‌گام

جدول مقادیر

مقادیر زاویه‌های اصلی — همان‌هایی که بیشتر از همه پرسیده می‌شوند. خط تیره یعنی تابع در این نقطه تعریف نشده است.

درجه رادیان sin cos tg ctg

فرمول‌های اصلی

اتحادها

sin²x + cos²x = 1 اتحاد اصلی
tg x = sin x / cos x ctg x = cos x / sin x
tg x · ctg x = 1 1 + tg²x = 1/cos²x

مجموع دو زاویه

sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β
cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β
tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β)

دو برابر کمان و نصف کمان

sin 2α = 2·sin α·cos α
cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
sin²α = (1 − cos 2α)/2 cos²α = (1 + cos 2α)/2

روابط کمان‌های وابسته

قاعده: برای π/2 و 3π/2 نام تابع عوض می‌شود (sin ↔ cos، tan ↔ cot)؛ برای π و 2π عوض نمی‌شود. علامت را از ربعی می‌گیریم که زاویهٔ اصلی در آن قرار دارد.

sin(π/2 − α) = cos α cos(π/2 − α) = sin α
sin(π − α) = sin α cos(π − α) = −cos α
sin(π + α) = −sin α cos(π + α) = −cos α
sin(2π − α) = −sin α cos(2π − α) = cos α
📚 درس‌نامه: حل معادله‌های مثلثاتی ساده

معادلهٔ مثلثاتی ساده تساوی‌ای به شکل sin x = a، cos x = a یا tan x = a است. حل آن یعنی پیدا کردن همهٔ زاویه‌هایی که تابع در آن‌ها برابر a است. تعداد این زاویه‌ها بی‌شمار است: توابع متناوب‌اند، پس جواب را با یک فرمول کلی و پارامتر صحیح n می‌نویسند.

دورهٔ تناوب سینوس 2π است، اما ریشه‌های آن در هر دوره نسبت به π/2 متقارن‌اند؛ به همین دلیل فرمول ضریب (−1)ⁿ و دورهٔ πn دارد. ریشه‌های کسینوس نسبت به صفر متقارن‌اند — علامت ± از همین‌جاست. تانژانت دورهٔ π و ساده‌ترین فرمول را دارد.

حالت‌های خاص sin x = 0, ±1 و cos x = 0, ±1 را جداگانه حفظ می‌کنند. فرمول کلی برای آن‌ها هم درست است، اما طولانی است و شکل کوتاه در وقت امتحان صرفه‌جویی می‌کند.

اگر |a| > 1، معادله‌ای با سینوس یا کسینوس جواب ندارد: این توابع هیچ‌وقت از بازهٔ −1 تا 1 بیرون نمی‌روند. تانژانت و کتانژانت چنین محدودیتی ندارند — هر مقداری را می‌گیرند.

آیا رایگان است؟

بله، کاملاً رایگان و بدون ثبت‌نام. ابزار به‌طور کامل در مرورگر شما اجرا می‌شود: فایل هرگز به سرور نمی‌رود، پس سرور نه پردازنده مصرف می‌کند و نه پهنای باند — چیزی نیست که بابتش پول گرفته شود. بدون واترمارک و بدون محدودیت در حجم یا تعداد فایل‌ها.