مثلثات - جداول، فرمول ها و معادلات توضیح داده شده گام به گام
معادله مثلثاتی پایه
یک تابع را انتخاب کنید و سمت راست را وارد کنید تا فرمول کلی ریشه ها و توضیح نحوه به دست آمدن آن را دریافت کنید. پاسخ همانطور که معلم انتظار دارد نوشته می شود: با n ∈ ℤ.
چگونه حل شد - گام به گام
در نمودار: چرا بی نهایت ریشه وجود دارد
خط نارنجی y = a در نقاط محلول از موج عبور می کند. سینوس و کسینوس هر 2π تکرار می شوند (این دوره است)، بنابراین تقاطع ها یک زنجیره بی نهایت را تشکیل می دهند - هر نقطه یک مجموعه از ریشه ها را اضافه می کند. این جایی است که "+ 2πn" یا "+ πn" در پاسخ از آنجا می آید.
روی دایره واحد
زاویه از محور cos در خلاف جهت عقربه های ساعت اندازه گیری می شود. کسینوس زاویه مختصات افقی نقطه و سینوس عمودی است. راه حل های sin x = a نقاطی هستند که ارتفاع آنها برابر با a (یک خط افقی) است و cos x = a نقاطی هستند که مختصات افقی مورد نیاز (یک خط عمودی) دارند. معمولاً دو نقطه از این قبیل روی دایره وجود دارد - بنابراین دو ریشه در هر چرخش.
مقادیر تابع برای یک زاویه
زاویه ای را بر حسب درجه (مثلا 60) یا رادیان (مثلا π/3 یا pi/3) وارد کنید تا sin، cos، tan و cot بدست آورید. برای زوایای جدول پاسخ دقیق است، در غیر این صورت به 6 رقم گرد می شود.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
توابع معکوس
arcsin، arccos، arctan و arccot زاویه را از یک مقدار تابع - مقدار اصلی، بر حسب درجه و رادیان برمیگردانند. arcsin و arccos فقط برای مقادیر 1- تا 1 تعریف می شوند.
جدول مقادیر
مقادیر برای زوایای اصلی - آنهایی که اغلب در مورد آنها سؤال می شود. خط تیره به این معنی است که تابع در آن نقطه تعریف نشده است.
| درجه | رادیان ها | sin | cos | tg | ctg |
|---|
فرمول های اصلی
هویت ها
| sin²x + cos²x = 1 | هویت بنیادی |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
مجموع استدلال ها
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
زاویه دو و نیم
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
فرمول های کاهش
قانون: برای π/2 و 3π/2، تابع به تابع خود تغییر می کند (sin ↔ cos، tan ↔ cot). برای π و 2π ثابت می ماند. علامت از ربع زاویه اصلی گرفته شده است.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 تئوری: نحوه حل معادلات پایه
یک معادله مثلثاتی پایه تساوی به شکل sin x = a، cos x = a یا tan x = a است. حل آن به معنای یافتن همه زوایایی است که تابع برابر با a است. این زوایای بی نهایت زیاد است: توابع تناوبی هستند، بنابراین پاسخ به صورت یک فرمول کلی با پارامتر عدد صحیح n نوشته می شود.
دوره سینوس 2π است، اما در یک دوره ریشه های آن متقارن در حدود π/2 است، به همین دلیل است که فرمول حاوی ضریب (-1)ⁿ و دوره πn است. ریشه کسینوس تقریباً صفر متقارن است - از این رو علامت ± است. مماس دارای دوره π و ساده ترین فرمول از همه است.
موارد خاص sin x = 0، ±1 و cos x = 0، ±1 به طور جداگانه حفظ می شوند. فرمول کلی برای آنها نیز کار می کند، اما حجیم است و فرم کوتاه باعث صرفه جویی در زمان در طول امتحان می شود.
اگر |a| > 1، معادله ای با سینوس یا کسینوس هیچ راه حلی ندارد: این توابع هرگز محدوده 1- تا 1 را ترک نمی کنند. مماس و کتانژانت چنین محدودیتی ندارند - آنها هر مقداری را می گیرند.