Dérivées et intégrales — on calcule et on explique ce que cela signifie
Fonction f(x)
Dérivée
La dérivée f′(x) montre à quelle vitesse f(x) change en chaque point : c’est la « vitesse de croissance » de la fonction. Si f(x) est la distance parcourue, alors f′(x) est la vitesse au compteur.
f″(x) est la dérivée seconde : la vitesse de variation de la vitesse elle-même (dans l’exemple de la voiture — l’accélération).
Le nombre f′(x₀) est la pente de la tangente — la droite qui épouse le graphique au point x₀. Pente positive — la fonction croît, négative — elle décroît, nulle — un sommet ou un creux.
Intégrale définie
L’intégrale ∫ f(x) de a à b est l’aire entre le graphique et l’axe X. Si f(x) est une vitesse, l’intégrale est toute la distance parcourue. Les parties sous l’axe X comptent avec un signe moins.
📚 Théorie : qu’est-ce qu’une dérivée
La dérivée est la notion centrale de l’analyse. Formellement, c’est la limite du taux d’accroissement : f′(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h quand h → 0. Cela semble effrayant, mais le sens est simple : on regarde de combien la fonction a changé sur un pas minuscule, on divise par la longueur du pas — et on obtient la vitesse de variation.
Exemple : f(x) = x². Au point x = 3, la dérivée vaut f′(3) = 6. Cela signifie : près de x = 3, la fonction croît au rythme de « 6 unités de y pour 1 unité de x ». Tracez x² dans notre traceur — et vous verrez que la parabole y monte effectivement très fort.
La dérivation est simplement le processus qui consiste à trouver la dérivée. Elle obéit à des règles : la dérivée d’une somme est la somme des dérivées, un produit suit la règle du produit (u·v)′ = u′·v + u·v′, et les fonctions composées suivent la règle de la chaîne : on dérive d’abord la fonction externe, puis on multiplie par la dérivée de l’interne.
Là où la dérivée est nulle, la fonction « se fige » un instant — c’est là que se trouvent les sommets et les creux du graphique (les extrema). C’est ainsi que la dérivée aide à trouver maxima et minima — de la trajectoire d’un ballon au profit d’une entreprise.
📚 Théorie : qu’est-ce qu’une intégrale
L’intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx est l’aire de la figure comprise entre le graphique de f(x) et l’axe X sur le segment de a à b. Imaginez la figure découpée en milliers de fines bandes verticales : l’aire de chacune vaut ≈ f(x)·(largeur de la bande), et l’intégrale est la somme de toutes les bandes pour un découpage infiniment fin.
Sens concret : si f(t) est votre vitesse à l’instant t, alors l’intégrale de la vitesse par rapport au temps est toute la distance parcourue. C’est exactement ainsi que le compteur kilométrique « intègre » le compteur de vitesse.
L’intégration et la dérivation sont des opérations réciproques (c’est la formule de Newton-Leibniz, le théorème fondamental de l’analyse) : l’intégrale d’une dérivée redonne la fonction d’origine. Dérivez x², vous obtenez 2x — et l’intégrale de 2x de 0 à 3 redonne 9 = 3².
Notre calculateur calcule l’intégrale numériquement : il découpe le segment en petits morceaux et les additionne soigneusement (méthode de Simpson). Il vient donc à bout même des fonctions qui n’ont pas de « jolie » primitive.