Trigonométrie — tableaux, formules et équations expliqués étape par étape
Équation trigonométrique de base
Choisissez une fonction et entrez dans le côté droit pour obtenir la formule générale des racines et une explication de la façon dont elle a été obtenue. La réponse s’écrit de la manière dont un enseignant l’attend : avec n ∈ ℤ.
Comment cela a été résolu – étape par étape
Sur le graphique : pourquoi il y a une infinité de racines
La ligne orange y = a traverse la vague aux points de solution. Le sinus et le cosinus se répètent tous les 2π (c'est la période), donc les intersections forment une chaîne infinie — chaque période ajoute le même ensemble de racines. C'est de là que vient le « + 2πn » ou « + πn » dans la réponse.
Sur le cercle unité
L'angle est mesuré à partir de l'axe cos dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le cosinus de l'angle est la coordonnée horizontale du point, le sinus est la coordonnée verticale. Les solutions de sin x = a sont les points dont la hauteur est égale à a (une ligne horizontale), et cos x = a sont les points avec la coordonnée horizontale requise (une ligne verticale). Il y a généralement deux points de ce type sur le cercle, donc deux racines par révolution.
Valeurs de fonction pour un angle
Entrez un angle en degrés (par exemple 60) ou en radians (par exemple π/3 ou pi/3) pour obtenir sin, cos, tan et cot. Pour les angles du tableau, la réponse est exacte, sinon elle est arrondie à 6 chiffres.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Fonctions inverses
arcsin, arccos, arctan et arccot renvoient l'angle à partir d'une valeur de fonction - la valeur principale, en degrés et en radians. arcsin et arccos sont définis uniquement pour les valeurs de −1 à 1.
Tableau des valeurs
Valeurs pour les angles principaux – ceux qui sont le plus souvent demandés. Un tiret signifie que la fonction n'est pas définie à ce stade.
| Degrés | Radians | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Formules de base
Identités
| sin²x + cos²x = 1 | l'identité fondamentale |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Somme des arguments
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Double et demi-angle
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formules de réduction
La règle : pour π/2 et 3π/2 la fonction passe à sa cofonction (sin ↔ cos, tan ↔ cot) ; pour π et 2π, cela reste le même. Le signe est tiré du quadrant dans lequel se trouve l’angle d’origine.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Théorie : comment résoudre des équations de base
Une équation trigonométrique de base est une égalité de la forme sin x = a, cos x = a ou tan x = a. Le résoudre signifie trouver tous les angles auxquels la fonction est égale à a. Il existe une infinité de tels angles : les fonctions sont périodiques, donc la réponse s'écrit sous la forme d'une formule générale avec un paramètre entier n.
La période du sinus est 2π, mais sur une période ses racines sont symétriques par rapport à π/2, c'est pourquoi la formule contient le facteur (−1)ⁿ et la période πn. Les racines du cosinus sont symétriques par rapport à zéro – d’où le signe ±. La tangente a une période π et la formule la plus simple de toutes.
Les cas particuliers sin x = 0, ±1 et cos x = 0, ±1 sont mémorisés séparément. La formule générale fonctionne pour eux aussi, mais elle est volumineuse et la forme courte permet de gagner du temps lors d'un examen.
Si |une| > 1, une équation avec un sinus ou un cosinus n'a pas de solutions : ces fonctions ne quittent jamais la plage de −1 à 1. La tangente et la cotangente n'ont pas une telle restriction — elles prennent n'importe quelle valeur.