प्रतिअवकलन - प्रत्येक चरण और एक ग्राफ़ के विस्तृत विवरण के साथ
फलन f(x)
प्रतिअवकलज
प्रतिअवकलन F(x) एक फलन है जिसका व्युत्पन्न मूल वापस देता है: F′(x) = f(x)। किसी भी स्थिरांक C को प्रतिअवकलन में जोड़ा जा सकता है, यही कारण है कि इसे हमेशा लिखा जाता है।
इसकी गणना कैसे की गई - चरण दर चरण
प्रत्येक चरण में उपयोग की गई तकनीक का नाम दिया गया है और प्रतिस्थापन दर्शाया गया है, ताकि समाधान को आपकी नोटबुक में कॉपी किया जा सके।
फ़ंक्शन का ग्राफ़ और उसका प्रतिअवकलन
नीला वक्र फलन f(x) है, नारंगी वक्र प्रतिअवकलन F(x) है। लिंक की जाँच करें: जहाँ f(x) धनात्मक है वहाँ प्रतिअवकलन बढ़ता है; जहाँ f(x) ऋणात्मक है वह घटता है; जहाँ f(x) = 0 प्रतिअवकलन का एक शिखर या घाटी है। यह व्युत्पन्न की तुलना में बिल्कुल विपरीत संबंध है।
प्रतिअवकलजों की तालिका
मूल सूत्र. C एक मनमाना स्थिरांक है। किसी भी पंक्ति को सत्यापित करना आसान है: दाएं कॉलम को अलग करें और आपको बायां कॉलम मिलता है।
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
निश्चित अभिन्न - ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र → · व्युत्क्रम संक्रिया - व्युत्पन्न →
📚 सिद्धांत: एकीकरण तकनीक
एकीकरण विभेदन के विपरीत ऑपरेशन है। एफ के लिए एक एंटीडेरिवेटिव एफ खोजने का मतलब एक फ़ंक्शन चुनना है जिसका व्युत्पन्न एफ के बराबर है। जांच हमेशा एक ही होती है: उत्तर को अलग करें।
रैखिकता: किसी योग का अभिन्न अंग, अभिन्नों के योग के बराबर होता है, एक स्थिर कारक को बाहर ले जाया जाता है। रैखिक प्रतिस्थापन: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k - जब एक रैखिक अभिव्यक्ति x के बजाय अभिन्न के अंतर्गत आती है।
भागों द्वारा एकीकरण: ∫u dv = u·v − ∫v du. इसे x·eˣ या x·sin x जैसे उत्पादों पर लागू किया जाता है। प्रत्येक अभिन्न को प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, ∫e^(−x²) dx का कोई बंद सूत्र नहीं है, और यह सामान्य है।
क्या यह मुफ़्त है?
हाँ, पूरी तरह मुफ़्त और बिना पंजीकरण के। उपकरण पूरी तरह आपके ब्राउज़र में चलता है: फ़ाइल कभी सर्वर तक नहीं जाती, इसलिए सर्वर न प्रोसेसर खर्च करता है न ट्रैफ़िक — पैसे लेने की कोई वजह ही नहीं। कोई वॉटरमार्क नहीं, फ़ाइल के आकार या संख्या की कोई सीमा नहीं।