व्युत्पन्न - प्रत्येक चरण और एक ग्राफ़ के विस्तृत विवरण के साथ

नीला वक्र फलन f(x) है, नारंगी वक्र व्युत्पन्न f′(x) है। हरे रंग की पृष्ठभूमि: f′(x) > 0 और फ़ंक्शन बढ़ रहा है। लाल पृष्ठभूमि: f′(x) < 0 और फ़ंक्शन घट रहा है। वे बिंदु जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, ग्राफ़ पर चिह्नित होते हैं - ये चरम (चोटियाँ और घाटियाँ) हैं।

ज्यामितीय अर्थ

व्युत्पन्न f′(x₀) बिंदु x₀ पर ग्राफ़ की स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है, यानी, इसके झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा है। एक बड़े व्युत्पन्न का अर्थ है तीव्र वृद्धि, ऋणात्मक का अर्थ है उतरना, शून्य का अर्थ है स्पर्शरेखा क्षैतिज (एक शिखर या घाटी) है। यही कारण है कि अवकलज का चिह्न आपको बताता है कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है।

भौतिक अर्थ

यदि कोई फ़ंक्शन किसी पिंड की स्थिति को समय s(t) के फ़ंक्शन के रूप में वर्णित करता है, तो व्युत्पन्न s′(t) तात्कालिक वेग है, और दूसरा व्युत्पन्न s″(t) त्वरण है। सामान्य तौर पर व्युत्पन्न किसी मात्रा के परिवर्तन की दर है: x के बदलने पर y कितनी तेजी से बदलता है। यह वह मूल अर्थ है जिसके लिए न्यूटन ने व्युत्पत्ति प्रस्तुत की।

बीजगणितीय अर्थ

औपचारिक रूप से व्युत्पन्न वृद्धि के अनुपात की सीमा है: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h as h → 0. हम एक छोटा कदम h लेते हैं, देखते हैं कि फ़ंक्शन कितना बदल गया है, और चरण की लंबाई से विभाजित करते हैं। जैसे-जैसे चरण शून्य के करीब पहुंचता है, अनुपात बिंदु पर परिवर्तन की सटीक दर के करीब पहुंचता है।

व्युत्पन्न और चरम

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है, इसलिए वहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। यह सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने की मुख्य तकनीक है: व्युत्पन्न को शून्य पर सेट करें और मूल खोजें। यदि, ऐसे बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न का चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है, तो यह अधिकतम है; न्यूनतम "-" से "+" तक।

मूल सूत्र - वही सूत्र जो ऊपर दिए गए विश्लेषण में उपयोग किए गए हैं। C एक स्थिरांक है, a > 0.

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