निश्चित अभिन्न अंग - न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र के साथ ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र
फलन f(x)
अभिन्न का मूल्य
ए से बी तक निश्चित अभिन्न ∫ एफ (एक्स) डीएक्स अंतराल पर ग्राफ और एक्स अक्ष के बीच का क्षेत्र है [ए; बी]। अक्ष के नीचे के भागों को ऋण चिह्न से गिना जाता है।
न्यूटन-लीबनिज सूत्र
समाकलन कलन का मुख्य सूत्र निश्चित समाकलन को प्रतिअवकलन से जोड़ता है: ∫ f(x) dx a से b = F(b) − F(a), जहां F, f का कोई प्रतिअवकलन है। इसलिए क्षेत्र को योग और सीमा के बिना पाया जा सकता है: बस प्रतिअवकलन लें और सीमा को प्रतिस्थापित करें।
📚 सिद्धांत: अभिन्न क्या है
निश्चित अभिन्न ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b के अंतराल पर f(x) के ग्राफ और X अक्ष के बीच की आकृति का क्षेत्र है। हजारों संकीर्ण ऊर्ध्वाधर पट्टियों में कटी हुई आकृति की कल्पना करें: प्रत्येक ≈ f(x)·(चौड़ाई) का क्षेत्रफल, और अभिन्न सभी पट्टियों का योग है क्योंकि टुकड़ा असीम रूप से पतला हो जाता है।
भौतिक अर्थ: यदि f(x) वेग है, तो अभिन्न तय की गई कुल दूरी है; यदि f(x) शक्ति है, तो अभिन्न ऊर्जा है। इंटीग्रल एक मात्रा जमा करता है जिसकी दर इंटीग्रैंड द्वारा दी जाती है।
क्षेत्र का चिह्न: एक्स अक्ष के नीचे ग्राफ़ के हिस्से नकारात्मक योगदान देते हैं। इसीलिए, उदाहरण के लिए, पूर्ण अवधि में ∫ पाप x dx शून्य के बराबर होता है: ऊपर का क्षेत्र नीचे के क्षेत्र को रद्द कर देता है।