त्रिकोणमिति - तालिकाएँ, सूत्र और समीकरण चरण दर चरण समझाए गए
मूल त्रिकोणमितीय समीकरण
एक फ़ंक्शन चुनें और जड़ों के लिए सामान्य सूत्र और इसे कैसे प्राप्त किया गया इसका स्पष्टीकरण प्राप्त करने के लिए दाईं ओर दर्ज करें। उत्तर वैसे ही लिखा जाता है जैसे शिक्षक अपेक्षा करता है: n ∈ ℤ के साथ।
इसे कैसे हल किया गया - चरण दर चरण
ग्राफ़ पर: अनन्त रूप से अनेक जड़ें क्यों हैं?
नारंगी रेखा y = a समाधान बिंदुओं पर तरंग को काटती है। साइन और कोसाइन हर 2π (यह अवधि है) को दोहराते हैं, इसलिए चौराहे एक अनंत श्रृंखला बनाते हैं - प्रत्येक अवधि जड़ों का एक ही सेट जोड़ती है। यहीं से उत्तर में "+ 2πn" या "+ πn" आता है।
यूनिट सर्कल पर
कोण को कॉस अक्ष से वामावर्त दिशा में मापा जाता है। कोण की कोज्या बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक है, ज्या ऊर्ध्वाधर है। पाप x = a के समाधान वे बिंदु हैं जिनकी ऊँचाई a (एक क्षैतिज रेखा) के बराबर है, और cos x = a आवश्यक क्षैतिज निर्देशांक (एक ऊर्ध्वाधर रेखा) वाले बिंदु हैं। आमतौर पर वृत्त पर दो ऐसे बिंदु होते हैं - इसलिए प्रति क्रांति दो जड़ें होती हैं।
किसी कोण के लिए फ़ंक्शन मान
पाप, कॉस, टैन और कॉट प्राप्त करने के लिए एक कोण को डिग्री (उदाहरण के लिए 60) या रेडियन (उदाहरण के लिए π/3 या पीआई/3) में दर्ज करें। तालिका के कोणों के लिए उत्तर सटीक है, अन्यथा इसे 6 अंकों तक पूर्णांकित किया जाता है।
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
उलटा कार्य
आर्क्सिन, आर्ककोस, आर्कटन और आर्ककॉट एक फ़ंक्शन मान से कोण लौटाते हैं - मुख्य मान, डिग्री और रेडियन में। आर्कसिन और आर्ककोस को केवल -1 से 1 तक के मानों के लिए परिभाषित किया गया है।
मूल्यों की तालिका
मुख्य कोणों के मान - जिनके बारे में सबसे अधिक बार पूछा जाता है। डैश का मतलब है कि उस बिंदु पर फ़ंक्शन अपरिभाषित है।
| डिग्री | रेडियंस | sin | cos | tg | ctg |
|---|
मूल सूत्र
पहचान
| sin²x + cos²x = 1 | मौलिक पहचान |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
तर्कों का योग
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
दोहरा और आधा कोण
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
न्यूनीकरण सूत्र
नियम: π/2 और 3π/2 के लिए फ़ंक्शन अपने सह-कार्य (sin ↔ cos, tan ↔ cot) पर स्विच हो जाता है; π और 2π के लिए यह वही रहता है। चिन्ह उस चतुर्थांश से लिया गया है जिसमें मूल कोण स्थित है।
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 सिद्धांत: बुनियादी समीकरणों को कैसे हल करें
एक बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरण पाप x = a, cos x = a या tan x = a के रूप की समानता है। इसे हल करने का अर्थ है सभी कोणों को ढूंढना जिन पर फ़ंक्शन a के बराबर है। ऐसे अनगिनत कोण हैं: फ़ंक्शन आवधिक होते हैं, इसलिए उत्तर पूर्णांक पैरामीटर n के साथ एक सामान्य सूत्र के रूप में लिखा जाता है।
ज्या की अवधि 2π है, लेकिन एक अवधि पर इसकी जड़ें π/2 के बारे में सममित हैं, यही कारण है कि सूत्र में कारक (−1)ⁿ और अवधि πn शामिल है। कोसाइन की जड़ें शून्य के बारे में सममित हैं - इसलिए ± चिह्न। स्पर्श रेखा का आवर्त π और सभी का सबसे सरल सूत्र है।
विशेष मामले पाप x = 0, ±1 और cos x = 0, ±1 को अलग से याद किया जाता है। सामान्य सूत्र उनके लिए भी काम करता है, लेकिन यह भारी है, और संक्षिप्त रूप परीक्षा के दौरान समय बचाता है।
यदि |ए| > 1, साइन या कोसाइन वाले समीकरण का कोई समाधान नहीं है: ये फ़ंक्शन कभी भी -1 से 1 तक की सीमा नहीं छोड़ते हैं। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट पर ऐसा कोई प्रतिबंध नहीं है - वे कोई भी मान लेते हैं।