Trigonometrija — vrijednosti, pojednostavnjivanje i jednadžbe s objašnjenjem korak po korak
Zadatak
Upišite izraz, jednadžbu ili ono što treba pojednostavniti — onako kako biste pisali u bilježnicu. Broj bez znaka za stupanj računa se u stupnjevima, a radijani se pišu pomoću π.
Kako je riješeno — korak po korak
Ostale funkcije ovoga kuta
Na grafu: zašto rješenja ima beskonačno mnogo
Narančasti pravac y = a siječe val u točkama koje su rješenja. Sinus i kosinus ponavljaju se svakih 2π (to je period), pa sjecišta tvore beskonačan niz — svaki period dodaje isti skup rješenja. Odatle „+ 2πn“ ili „+ πn“ u odgovoru.
Na jediničnoj kružnici
Kut se nanosi od osi cos u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Kosinus kuta je vodoravna koordinata točke, a sinus okomita. Rješenja jednadžbe sin x = a su točke čija je visina jednaka a (vodoravni pravac), a rješenja jednadžbe cos x = a su točke s traženom vodoravnom koordinatom (okomiti pravac). Obično su na kružnici dvije takve točke — otuda dva rješenja u svakom punom okretu.
Kut se nanosi od osi cos u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Kosinus je vodoravna koordinata točke, a sinus okomita.
Pravokutni trokut
Upišite bilo koje dvije veličine, od kojih je barem jedna stranica, a ostalo će se izračunati.
sin α = a/c — omjer nasuprotne katete i hipotenuze, cos α = b/c — omjer priležeće katete i hipotenuze, tg α = a/b — omjer nasuprotne i priležeće katete.
Kako je riješeno — korak po korak
Tablica vrijednosti
Vrijednosti za osnovne kutove — o njima se najčešće pita. Crtica znači da funkcija u toj točki nije definirana.
| Stupnjevi | Radijani | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Osnovne formule
Identiteti
| sin²x + cos²x = 1 | osnovni identitet |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Adicijske formule
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Dvostruki i polovični kut
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formule redukcije
Pravilo: kod π/2 i 3π/2 funkcija prelazi u svoju „kofunkciju“ (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), a kod π i 2π ostaje ista. Predznak se određuje prema kvadrantu u kojem leži početni kut.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teorija: kako rješavati osnovne jednadžbe
Osnovna trigonometrijska jednadžba jest jednakost oblika sin x = a, cos x = a, tg x = a. Riješiti je znači pronaći sve kutove za koje je zadana funkcija jednaka a. Takvih kutova ima beskonačno mnogo: funkcije su periodične, pa se odgovor zapisuje općom formulom s cjelobrojnim parametrom n.
Period sinusa je 2π, ali su na jednom periodu njegova rješenja simetrična s obzirom na π/2, zato formula sadrži faktor (−1)ⁿ i period πn. Rješenja za kosinus simetrična su s obzirom na nulu — otuda predznak ±. Tangens ima period π i najjednostavniju formulu.
Posebni slučajevi sin x = 0, ±1 i cos x = 0, ±1 pamte se zasebno. Opća formula vrijedi i za njih, ali je glomazna, a kraći zapis štedi vrijeme na ispitu.
Ako je |a| > 1, jednadžba sa sinusom ili kosinusom nema rješenja: te funkcije nikad ne izlaze iz segmenta od −1 do 1. Tangens i kotangens nemaju takvo ograničenje — oni poprimaju bilo koju vrijednost.
Je li besplatno?
Da, potpuno besplatno i bez registracije. Alat radi u cijelosti u vašem pregledniku: datoteka nikada ne odlazi na poslužitelj, pa poslužitelj ne troši ni procesor ni promet — nema se što naplatiti. Bez vodenih žigova, bez ograničenja veličine i broja datoteka.