Trigonometrija — tablice, formule i jednadžbe objašnjene korak po korak
Osnovna trigonometrijska jednadžba
Odaberite funkciju i unesite desnu stranu da biste dobili opću formulu za korijene i objašnjenje kako je dobivena. Odgovor se piše onako kako to učitelj očekuje: s n ∈ ℤ.
Kako je riješeno — korak po korak
Na grafu: zašto postoji beskonačno mnogo korijena
Narančasta linija y = a siječe val u točkama rješenja. Sinus i kosinus ponavljaju se svakih 2π (ovo je razdoblje), tako da sjecišta tvore beskonačni lanac — svako razdoblje dodaje isti skup korijena. Odatle dolazi "+ 2πn" ili "+ πn" u odgovoru.
Na jediničnoj kružnici
Kut se mjeri od cos osi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Kosinus kuta je vodoravna koordinata točke, sinus je okomita. Rješenja sin x = a su točke čija je visina jednaka a (vodoravna crta), a cos x = a su točke s traženom horizontalnom koordinatom (okomita crta). Obično postoje dvije takve točke na krugu - dakle dva korijena po revoluciji.
Vrijednosti funkcije za kut
Unesite kut u stupnjevima (na primjer 60) ili u radijanima (na primjer π/3 ili pi/3) da biste dobili sin, cos, tan i cot. Za tablične kutove odgovor je točan, inače se zaokružuje na 6 znamenki.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Inverzne funkcije
arcsin, arccos, arctan i arccot vraćaju kut iz vrijednosti funkcije — glavne vrijednosti, u stupnjevima i radijanima. arcsin i arccos su definirani samo za vrijednosti od −1 do 1.
Tablica vrijednosti
Vrijednosti za glavne kutove — one o kojima se najčešće postavlja pitanje. Crtica znači da je funkcija u tom trenutku nedefinirana.
| Stupnjevi | Radijani | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Temeljne formule
Identiteti
| sin²x + cos²x = 1 | temeljni identitet |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Zbroj argumenata
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Dvostruki i polukutni
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formule redukcije
Pravilo: za π/2 i 3π/2 funkcija prelazi u svoju kofunkciju (sin ↔ cos, tan ↔ cot); za π i 2π ostaje isti. Predznak je uzet iz kvadranta u kojem leži izvorni kut.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teorija: kako riješiti osnovne jednadžbe
Osnovna trigonometrijska jednadžba je jednakost oblika sin x = a, cos x = a ili tan x = a. Rješavanje znači pronalaženje svih kutova na kojima je funkcija jednaka a. Takvih kutova ima beskonačno mnogo: funkcije su periodične, pa je odgovor zapisan kao opća formula s cjelobrojnim parametrom n.
Perioda sinusa je 2π, ali na periodi su njegovi korijeni simetrični oko π/2, zbog čega formula sadrži faktor (−1)ⁿ i period πn. Korijeni kosinusa su simetrični oko nule — otuda znak ±. Tangens ima period π i najjednostavniju formulu od svih.
Posebni slučajevi sin x = 0, ±1 i cos x = 0, ±1 zasebno se pamte. Opća formula radi i za njih, ali je glomazna, a kratki oblik štedi vrijeme tijekom ispita.
Ako je |a| > 1, jednadžba sa sinusom ili kosinusom nema rješenja: ove funkcije nikada ne izlaze iz raspona od −1 do 1. Tangens i kotangens nemaju takvo ograničenje — oni poprimaju bilo koju vrijednost.