Turunan dan integral — kami hitung dan jelaskan maknanya
Fungsi f(x)
Turunan
Turunan f′(x) menunjukkan seberapa cepat f(x) berubah di setiap titik: inilah «kecepatan pertumbuhan» fungsi. Jika f(x) adalah jarak yang ditempuh, maka f′(x) adalah kecepatan di speedometer.
f″(x) adalah turunan kedua: laju perubahan dari kecepatan itu sendiri (dalam contoh mobil — percepatan).
Bilangan f′(x₀) adalah kemiringan garis singgung — garis yang menempel pada grafik di titik x₀. Kemiringan positif — fungsi naik, negatif — turun, nol — puncak atau lembah.
Integral tentu
Integral ∫ f(x) dari a sampai b adalah luas antara grafik dan sumbu X. Jika f(x) adalah kecepatan, integralnya adalah seluruh jarak yang ditempuh. Bagian di bawah sumbu X dihitung dengan tanda minus.
📚 Teori: apa itu turunan
Turunan adalah konsep sentral kalkulus. Secara formal ia adalah limit rasio pertambahan: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h saat h → 0. Terdengar seram, tetapi maknanya sederhana: kita lihat seberapa besar fungsi berubah pada langkah yang sangat kecil, bagi dengan panjang langkah — dan dapatlah laju perubahan.
Contoh: f(x) = x². Di titik x = 3 turunannya f′(3) = 6. Artinya: di sekitar x = 3 fungsi tumbuh dengan laju «6 satuan y per 1 satuan x». Gambar x² di alat grafik kami — dan Anda akan lihat parabola memang menanjak curam di sana.
Menurunkan (diferensiasi) hanyalah proses mencari turunan. Ia mengikuti aturan: turunan jumlah adalah jumlah turunan, perkalian memakai aturan hasil kali (u·v)′ = u′·v + u·v′, dan fungsi bersarang memakai aturan rantai: turunkan dulu fungsi luar, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam.
Di tempat turunan bernilai nol, fungsi «membeku» sesaat — di sanalah puncak dan lembah grafik (ekstrem). Begitulah turunan membantu menemukan maksimum dan minimum — dari lintasan bola sampai laba perusahaan.
📚 Teori: apa itu integral
Integral tentu ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bangun antara grafik f(x) dan sumbu X pada ruas dari a sampai b. Bayangkan bangun itu dipotong menjadi ribuan pita vertikal sempit: luas tiap pita ≈ f(x)·(lebar pita), dan integral adalah jumlah semua pita ketika potongannya tak terhingga halus.
Makna sehari-hari: jika f(t) adalah kecepatan Anda pada saat t, integral kecepatan terhadap waktu adalah seluruh jarak yang ditempuh. Persis begitulah odometer «mengintegralkan» speedometer.
Integrasi dan diferensiasi adalah operasi yang saling berkebalikan (itulah isi rumus Newton-Leibniz, teorema dasar kalkulus): integral dari turunan mengembalikan fungsi semula. Turunkan x², dapat 2x — dan integral 2x dari 0 sampai 3 memberi lagi 9 = 3².
Kalkulator kami menghitung integral secara numerik: membagi ruas menjadi potongan kecil dan menjumlahkannya dengan cermat (metode Simpson). Karena itu ia sanggup bahkan untuk fungsi yang tidak punya antiturunan «cantik».