Trigonometri — tabel, rumus, dan persamaan dijelaskan langkah demi langkah
Persamaan trigonometri dasar
Pilih suatu fungsi dan masukkan sisi kanan untuk mendapatkan rumus umum akar-akarnya dan penjelasan cara memperolehnya. Jawabannya ditulis sesuai harapan guru: dengan n ∈ ℤ.
Cara mengatasinya — langkah demi langkah
Pada grafik: mengapa akarnya tak terhingga banyaknya
Garis oranye y = a melintasi gelombang di titik solusi. Sinus dan kosinus berulang setiap 2π (inilah periodenya), sehingga perpotongannya membentuk rantai tak hingga — setiap periode menambahkan himpunan akar yang sama. Dari situlah asal “+ 2πn” atau “+ πn” pada jawabannya.
Pada lingkaran satuan
Sudut diukur dari sumbu cos berlawanan arah jarum jam. Kosinus sudut adalah koordinat horizontal suatu titik, sinus adalah koordinat vertikal. Penyelesaian sin x = a adalah titik-titik yang tingginya sama dengan a (garis mendatar), dan cos x = a adalah titik-titik yang koordinat mendatarnya diperlukan (garis vertikal). Biasanya ada dua titik seperti itu pada lingkaran — maka dua akar per revolusi.
Nilai fungsi suatu sudut
Masukkan sudut dalam derajat (misalnya 60) atau dalam radian (misalnya π/3 atau pi/3) untuk mendapatkan sin, cos, tan, dan cot. Untuk sudut meja jawabannya tepat, selain itu dibulatkan menjadi 6 digit.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Fungsi terbalik
arcsin, arccos, arctan, dan arccot mengembalikan sudut dari nilai fungsi — nilai utama, dalam derajat dan radian. arcsin dan arccos didefinisikan hanya untuk nilai dari −1 hingga 1.
Tabel nilai
Nilai sudut utama — yang paling sering ditanyakan. Tanda hubung berarti fungsinya tidak terdefinisi pada saat itu.
| Derajat | Radian | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Rumus inti
Identitas
| sin²x + cos²x = 1 | identitas mendasar |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Jumlah argumen
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Sudut ganda dan setengah
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Rumus reduksi
Aturannya: untuk π/2 dan 3π/2 fungsinya beralih ke kofungsinya (sin ↔ cos, tan ↔ cot); untuk π dan 2π tetap sama. Tanda diambil dari kuadran tempat sudut semula berada.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teori: bagaimana menyelesaikan persamaan dasar
Persamaan dasar trigonometri adalah persamaan bentuk sin x = a, cos x = a atau tan x = a. Menyelesaikannya berarti mencari semua sudut yang fungsinya sama dengan a. Sudut seperti itu jumlahnya tak terhingga: fungsinya periodik, jadi jawabannya ditulis sebagai rumus umum dengan parameter bilangan bulat n.
Periode sinusnya adalah 2π, tetapi pada suatu periode akar-akarnya simetris terhadap π/2, itulah sebabnya rumusnya mengandung faktor (−1)ⁿ dan periode πn. Akar-akar kosinus simetris terhadap nol — oleh karena itu terdapat tanda ±. Garis singgung memiliki periode π dan rumus paling sederhana.
Kasus khusus sin x = 0, ±1 dan cos x = 0, ±1 dihafal secara terpisah. Rumus umum juga bisa digunakan untuk mereka, namun rumit, dan bentuk singkatnya menghemat waktu selama ujian.
Jika |a| > 1, persamaan dengan sinus atau cosinus tidak memiliki solusi: fungsi-fungsi ini tidak pernah meninggalkan rentang dari −1 hingga 1. Tangen dan kotangen tidak memiliki batasan seperti itu — keduanya bernilai berapa pun.