Trigonometria: tabelle, formule ed equazioni spiegate passo dopo passo
Equazione trigonometrica di base
Scegli una funzione e inseriscila nella parte destra per ottenere la formula generale per le radici e una spiegazione di come è stata ottenuta. La risposta è scritta come se la aspetta un insegnante: con n ∈ ℤ.
Come è stato risolto: passo dopo passo
Nel grafico: perché ci sono infinite radici
La linea arancione y = a attraversa l'onda nei punti di soluzione. Seno e coseno si ripetono ogni 2π (questo è il periodo), quindi le intersezioni formano una catena infinita: ogni periodo aggiunge lo stesso insieme di radici. Da qui deriva il “+ 2πn” o “+ πn” nella risposta.
Sul cerchio unitario
L'angolo è misurato dall'asse cos in senso antiorario. Il coseno dell'angolo è la coordinata orizzontale del punto, il seno è quella verticale. Le soluzioni di sin x = a sono i punti la cui altezza è uguale ad a (una linea orizzontale), e cos x = a sono i punti con la coordinata orizzontale richiesta (una linea verticale). Di solito ci sono due di questi punti sul cerchio, quindi due radici per rivoluzione.
Valori di funzione per un angolo
Inserisci un angolo in gradi (ad esempio 60) o in radianti (ad esempio π/3 o pi/3) per ottenere sin, cos, tan e cot. Per gli angoli della tavola la risposta è esatta, altrimenti viene arrotondata a 6 cifre.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Funzioni inverse
arcsin, arccos, arctan e arccot restituiscono l'angolo dal valore di una funzione: il valore principale, in gradi e radianti. arcsin e arccos sono definiti solo per valori da −1 a 1.
Tabella dei valori
Valori per gli angoli principali: quelli richiesti più spesso. Un trattino indica che la funzione in quel punto non è definita.
| Gradi | Radianti | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Formule fondamentali
Identità
| sin²x + cos²x = 1 | l'identità fondamentale |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Somma degli argomenti
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Doppio e mezzo angolo
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formule di riduzione
La regola: per π/2 e 3π/2 la funzione passa alla sua cofunzione (sin ↔ cos, tan ↔ cot); per π e 2π rimane lo stesso. Il segno si prende dal quadrante in cui giace l'angolo originario.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teoria: come risolvere equazioni di base
Un'equazione trigonometrica di base è un'uguaglianza della forma sin x = a, cos x = a o tan x = a. Risolverlo significa trovare tutti gli angoli in cui la funzione è uguale ad a. Esistono infiniti angoli simili: le funzioni sono periodiche, quindi la risposta si scrive come una formula generale con parametro intero n.
Il periodo del seno è 2π, ma in un periodo le sue radici sono simmetriche rispetto a π/2, motivo per cui la formula contiene il fattore (−1)ⁿ e il periodo πn. Le radici del coseno sono simmetriche rispetto allo zero, da qui il segno ±. La tangente ha periodo π e la formula più semplice di tutte.
I casi speciali sin x = 0, ±1 e cos x = 0, ±1 vengono memorizzati separatamente. La formula generale funziona anche per loro, ma è ingombrante e la forma breve fa risparmiare tempo durante l'esame.
Se |a| > 1, un'equazione con un seno o un coseno non ha soluzioni: queste funzioni non escono mai dall'intervallo da −1 a 1. La tangente e la cotangente non hanno tale restrizione: assumono qualsiasi valore.