微分と積分 — 計算して、その意味まで解説します
関数 f(x)
導関数
導関数 f′(x) は、各点で f(x) がどれだけ速く変化するかを示します。関数の「成長スピード」です。f(x) が走った距離なら、f′(x) はスピードメーターの速度です。
f″(x) は2階導関数：速度そのものの変化の速さです（車の例では加速度）。
数 f′(x₀) は接線の傾きです。接線とは、点 x₀ でグラフにぴったり寄り添う直線のこと。傾きが正なら関数は増加、負なら減少、ゼロなら山頂か谷底です。
定積分
a から b までの積分 ∫ f(x) は、グラフと X 軸の間の面積です。f(x) が速度なら、積分は走った距離の合計です。X 軸より下の部分はマイナス符号で数えます。
📚 理論：導関数とは何か
導関数は微分積分学の中心概念です。形式的には増分の比の極限：h → 0 のとき f′(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h。怖く聞こえますが、意味は単純です。ごく小さな一歩で関数がどれだけ変わったかを見て、一歩の長さで割る — それが変化率です。
例：f(x) = x²。点 x = 3 での導関数は f′(3) = 6。つまり x = 3 の近くで、関数は「x が 1 増えるごとに y が 6 増える」速さで成長します。私たちのグラフツールで x² を描いてみてください。放物線がそこで実際に急上昇しているのが見えます。
微分とは導関数を求める操作にすぎません。規則があります。和の導関数は導関数の和。積には積の法則 (u·v)′ = u′·v + u·v′。入れ子になった関数には連鎖律：まず外側の関数を微分し、内側の関数の導関数を掛けます。
導関数がゼロになる場所で、関数は一瞬「静止」します — そこがグラフの山と谷（極値）です。こうして導関数は最大値・最小値を見つける助けになります。ボールの軌道から会社の利益まで。
📚 理論：積分とは何か
定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までの区間で f(x) のグラフと X 軸の間にできる図形の面積です。図形を何千本もの細い縦の帯に切ると想像してください。各帯の面積は ≈ f(x)·(帯の幅) で、積分は無限に細かい分割での帯すべての合計です。
日常的な意味：f(t) が時刻 t のあなたの速度なら、速度の時間についての積分は走った距離の合計です。オドメーターはまさにこうしてスピードメーターを「積分」しています。
積分と微分は互いに逆の操作です（これがニュートン・ライプニッツの公式、微分積分学の基本定理です）：導関数を積分すると元の関数に戻ります。x² を微分すると 2x — そして 2x を 0 から 3 まで積分すると、ふたたび 9 = 3² が得られます。
この計算機は積分を数値的に計算します。区間を小さな断片に分けて丁寧に足し合わせます（シンプソン法）。だから「きれいな」原始関数を持たない関数でも扱えます。