三角法 — 表、公式、方程式を段階的に説明
基本的な三角関数の方程式
関数を選択して右側に入力すると、ルートの一般式とその計算方法の説明が表示されます。答えは教師が期待する方法で書かれます。n ∈ ℤ です。
どのように解決されたのか - 段階的に
グラフ上: なぜ無限に多くの根が存在するのか
オレンジ色の線 y = a は、解点で波と交差します。サインとコサインは 2π (これが周期) ごとに繰り返されるため、交差は無限のチェーンを形成します。各周期は同じ根のセットを追加します。答えの「+ 2πn」または「+ πn」はそこから来ています。
単位円上で
角度は cos 軸から反時計回りに測定されます。角度のコサインは点の水平座標であり、サインは垂直座標です。 sin x = a の解は高さが a に等しい点 (水平線) であり、cos x = a は必要な水平座標を持つ点 (垂直線) です。通常、円上にはそのような点が 2 つあります。したがって、1 回転ごとに 2 つの根が存在します。
角度の関数値
角度を度 (60 など) またはラジアン (π/3 または pi/3 など) で入力して、sin、cos、tan、cot を取得します。テーブル角度の場合、答えは正確ですが、それ以外の場合は 6 桁に四捨五入されます。
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
逆関数
arcsin、arccos、arctan、および arccot は、関数値 (度およびラジアン単位の主値) から角度を返します。 arcsin と arccos は、-1 ～ 1 の値に対してのみ定義されます。
値の表
主な角度の値 - 最も頻繁に質問されるものです。ダッシュは、その時点では関数が未定義であることを意味します。
| 学位 | ラジアン | sin | cos | tg | ctg |
|---|
コアフォーミュラ
アイデンティティ
| sin²x + cos²x = 1 | 基本的なアイデンティティ |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
引数の合計
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
2倍半角
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
還元式
規則: π/2 と 3π/2 の場合、関数はその共関数 (sin ↔ cos、tan ↔ cot) に切り替わります。 π と 2π の場合は同じままです。符号は、元の角度が存在する象限から取得されます。
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 理論: 基本方程式の解き方
基本的な三角方程式は、sin x = a、cos x = a、または Tan x = a という形式の等式です。これを解くということは、 関数が a に等しいすべての 角度を見つけることを意味します。このような角度は無限にあります。関数は周期的であるため、答えは整数パラメーター n をもつ一般式として記述されます。
サインの周期は 2π ですが、ある周期ではその根は π/2 に関して対称です。そのため、式には係数 (−1)ⁿ と周期 πn が含まれています。コサインの根はゼロに関して対称であるため、± 符号が付けられます。タンジェントは周期 π を持ち、最も単純な式です。
特殊なケースである sin x = 0、±1 と cos x = 0、±1 は個別に記憶されます。一般的な公式も彼らに役立ちますが、かさばり、短い形式は試験中の時間を節約します。
|a| の場合> 1 の場合、サインまたはコサインを含む方程式には解がありません。これらの関数は、-1 から 1 の範囲を離れることはありません。タンジェントとコタンジェントにはそのような制限はなく、任意の値を取ります。