ტრიგონომეტრია - ეტაპობრივად ახსნილი ცხრილები, ფორმულები და განტოლებები
ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება
აირჩიეთ ფუნქცია და შეიყვანეთ მარჯვენა მხარეს, რათა მიიღოთ ფესვების ზოგადი ფორმულა და ახსნა, თუ როგორ იქნა მიღებული იგი. პასუხი იწერება ისე, როგორც მასწავლებელი მოელის: n ∈ ℤ-ით.
როგორ მოგვარდა - ეტაპობრივად
გრაფიკზე: რატომ არის უსასრულოდ ბევრი ფესვი
ნარინჯისფერი ხაზი y = a კვეთს ტალღას ამოხსნის წერტილებში. სინუსი და კოსინუსი მეორდება ყოველ 2π-ში (ეს არის პერიოდი), ასე რომ, კვეთები ქმნიან უსასრულო ჯაჭვს - თითოეულ პერიოდს ემატება ფესვების იგივე ნაკრები. სწორედ აქედან მოდის პასუხში "+ 2πn" ან "+ πn".
ერთეულ წრეზე
კუთხე იზომება cos ღერძიდან საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. კუთხის კოსინუსი არის წერტილის ჰორიზონტალური კოორდინატი, სინუსი არის ვერტიკალური. sin x = a ამონახსნები არის წერტილები, რომელთა სიმაღლე უდრის a (ჰორიზონტალური ხაზი), ხოლო cos x = a არის წერტილები საჭირო ჰორიზონტალური კოორდინატით (ვერტიკალური ხაზი). ჩვეულებრივ წრეზე ორი ასეთი წერტილია - აქედან გამომდინარე, ორი ფესვი თითო რევოლუციაზე.
ფუნქციის მნიშვნელობები კუთხისთვის
შეიყვანეთ კუთხე გრადუსებში (მაგალითად 60) ან რადიანებში (მაგალითად π/3 ან pi/3), რათა მიიღოთ sin, cos, tan და cot. ცხრილის კუთხეებისთვის პასუხი ზუსტია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის მრგვალდება 6 ციფრამდე.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
ინვერსიული ფუნქციები
arcsin, arccos, arctan და arccot აბრუნებენ კუთხეს ფუნქციის მნიშვნელობიდან - ძირითადი მნიშვნელობა, გრადუსებში და რადიანებში. arcsin და arccos განისაზღვრება მხოლოდ −1-დან 1-მდე მნიშვნელობებისთვის.
ღირებულებების ცხრილი
მნიშვნელობები ძირითადი კუთხისთვის - ის, რაზეც ყველაზე ხშირად იკითხება. ტირე ნიშნავს, რომ ფუნქცია არ არის განსაზღვრული იმ მომენტში.
| ხარისხები | რადიანები | sin | cos | tg | ctg |
|---|
ძირითადი ფორმულები
იდენტობები
| sin²x + cos²x = 1 | ფუნდამენტური იდენტობა |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
არგუმენტების ჯამი
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
ორმაგი და ნახევარი კუთხე
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
შემცირების ფორმულები
წესი: π/2 და 3π/2-სთვის ფუნქცია გადადის მის თანაფუნქციაზე (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π და 2π-სთვის ის იგივე რჩება. ნიშანი აღებულია იმ კვადრატიდან, რომელშიც დევს თავდაპირველი კუთხე.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 თეორია: როგორ ამოხსნათ ძირითადი განტოლებები
ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება არის sin x = a, cos x = a ან tan x = a ფორმის ტოლობა. მისი ამოხსნა ნიშნავს ყველა კუთხის პოვნას, რომლებზეც ფუნქცია უდრის a. ასეთი კუთხე უსასრულოდ ბევრია: ფუნქციები პერიოდულია, ამიტომ პასუხი იწერება ზოგადი ფორმულის სახით მთელი n პარამეტრით.
სინუსის პერიოდი არის 2π, მაგრამ პერიოდზე მისი ფესვები სიმეტრიულია π/2-ის მიმართ, რის გამოც ფორმულა შეიცავს ფაქტორს (−1)ⁿ და პერიოდს πn. კოსინუსის ფესვები სიმეტრიულია ნულის შესახებ - აქედან გამომდინარეობს ± ნიშანი. ტანგენტს აქვს წერტილი π და უმარტივესი ფორმულა.
სპეციალური შემთხვევები sin x = 0, ±1 და cos x = 0, ±1 ცალ-ცალკე ახსოვს. ზოგადი ფორმულა მათთვისაც მუშაობს, მაგრამ ის მოცულობითია და მოკლე ფორმა დაზოგავს დროს გამოცდაზე.
თუ |ა| > 1, განტოლებას სინუსთან ან კოსინუსთან არ აქვს ამონახსნები: ეს ფუნქციები არასოდეს ტოვებენ დიაპაზონს −1-დან 1-მდე. ტანგენტსა და კოტანგენტს არ აქვთ ასეთი შეზღუდვა - ისინი იღებენ რაიმე მნიშვნელობას.