Trigonometri — nilai, permudahkan ungkapan dan selesaikan persamaan langkah demi langkah
Soalan
Taip ungkapan, persamaan atau apa-apa yang perlu dipermudahkan, seperti yang anda tulis dalam buku latihan. Nombor tanpa simbol darjah dibaca sebagai darjah; untuk radian, gunakan π.
Cara penyelesaian — langkah demi langkah
Fungsi trigonometri lain bagi sudut ini
Pada graf: mengapa puncanya tidak terhingga banyaknya
Garis jingga y = a memotong gelombang pada titik-titik penyelesaian. Sinus dan kosinus berulang setiap 2π (inilah kalanya), jadi titik persilangan membentuk rantaian tanpa penghujung — setiap kala menambah set punca yang sama. Dari situlah datangnya “+ 2πn” atau “+ πn” dalam jawapan.
Pada bulatan unit
Sudut diukur dari paksi cos mengikut arah lawan jam. Kosinus sudut ialah koordinat mengufuk titik itu, manakala sinus ialah koordinat mencancangnya. Penyelesaian sin x = a ialah titik-titik yang tingginya a (garis mengufuk), dan penyelesaian cos x = a ialah titik-titik dengan koordinat mengufuk yang dikehendaki (garis mencancang). Biasanya terdapat dua titik sebegini pada bulatan — sebab itu ada dua punca bagi setiap putaran.
Sudut diukur dari paksi cos mengikut arah lawan jam. Kosinus ialah koordinat mengufuk titik itu, manakala sinus ialah koordinat mencancangnya.
Segi tiga bersudut tegak
Masukkan mana-mana dua nilai, sekurang-kurangnya satu daripadanya sisi, dan selebihnya akan dikira.
sin α = a/c — sisi bertentangan dibahagi hipotenus, cos α = b/c — sisi bersebelahan dibahagi hipotenus, tan α = a/b — sisi bertentangan dibahagi sisi bersebelahan.
Cara penyelesaian — langkah demi langkah
Jadual nilai
Nilai bagi sudut khas — yang paling kerap ditanya. Tanda sengkang bermakna fungsi tidak tertakrif pada titik itu.
| Darjah | Radian | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Rumus asas
Identiti
| sin²x + cos²x = 1 | identiti asas |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Sudut majmuk
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Sudut berganda dan sudut separuh
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Rumus sudut rujukan
Peraturannya: bagi π/2 dan 3π/2 fungsi bertukar kepada kofungsinya (sin ↔ cos, tan ↔ cot); bagi π dan 2π fungsi kekal sama. Tanda ditentukan oleh sukuan tempat sudut asal terletak.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teori: cara menyelesaikan persamaan trigonometri asas
Persamaan trigonometri asas ialah kesamaan berbentuk sin x = a, cos x = a atau tan x = a. Menyelesaikannya bermakna mencari semua sudut yang menjadikan fungsi itu bernilai a. Sudut sebegini tidak terhingga banyaknya: fungsi-fungsi ini berkala, jadi jawapannya ditulis sebagai rumus am dengan parameter integer n.
Kala sinus ialah 2π, tetapi dalam satu kala punca-puncanya simetri terhadap π/2; sebab itu rumusnya mengandungi faktor (−1)ⁿ dan kala πn. Punca-punca kosinus simetri terhadap sifar — dari situlah tanda ±. Tangen mempunyai kala π dan rumus yang paling ringkas.
Kes khas sin x = 0, ±1 dan cos x = 0, ±1 dihafal secara berasingan. Rumus am juga sah untuk kes ini, tetapi panjang, manakala bentuk ringkas menjimatkan masa semasa peperiksaan.
Jika |a| > 1, persamaan dengan sinus atau kosinus tiada penyelesaian: kedua-dua fungsi ini tidak pernah keluar daripada julat −1 hingga 1. Tangen dan kotangen tiada batasan sebegitu — nilainya boleh apa sahaja.
Adakah ini percuma?
Ya, percuma sepenuhnya dan tanpa pendaftaran. Alat ini berjalan sepenuhnya dalam pelayar anda: fail tidak pernah dihantar ke pelayan, jadi pelayan tidak menggunakan pemproses mahupun jalur lebar — tiada apa-apa untuk dicaj. Tiada tera air, tiada had saiz mahupun bilangan fail.