Trigonometri — jadual, formula dan persamaan dijelaskan langkah demi langkah
Persamaan trigonometri asas
Pilih fungsi dan masukkan bahagian kanan untuk mendapatkan formula umum untuk akar dan penjelasan tentang cara ia diperoleh. Jawapan ditulis seperti yang diharapkan oleh guru: dengan n ∈ ℤ.
Bagaimana ia diselesaikan — langkah demi langkah
Pada graf: mengapa terdapat banyak punca yang tidak terhingga
Garis jingga y = a melintasi gelombang pada titik penyelesaian. Sinus dan kosinus berulang setiap 2π (ini ialah tempoh), jadi persilangan membentuk rantai tak terhingga — setiap noktah menambah set akar yang sama. Dari situlah datangnya “+ 2πn” atau “+ πn” dalam jawapan.
Pada bulatan unit
Sudut diukur dari paksi kos lawan jam. Kosinus sudut ialah koordinat mendatar titik, sinus ialah menegak. Penyelesaian sin x = a ialah titik yang ketinggiannya bersamaan dengan a (garis mendatar), dan cos x = a ialah titik dengan koordinat mengufuk yang diperlukan (garis menegak). Biasanya terdapat dua titik sedemikian pada bulatan - oleh itu dua punca setiap revolusi.
Nilai fungsi untuk sudut
Masukkan sudut dalam darjah (contohnya 60) atau dalam radian (contohnya π/3 atau pi/3) untuk mendapatkan sin, cos, tan dan cot. Untuk sudut jadual jawapannya adalah tepat, jika tidak ia dibundarkan kepada 6 digit.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Fungsi songsang
arcsin, arccos, arctan dan arcot mengembalikan sudut daripada nilai fungsi — nilai utama, dalam darjah dan radian. arcsin dan arccos ditakrifkan hanya untuk nilai dari -1 hingga 1.
Jadual nilai
Nilai untuk sudut utama — yang paling kerap ditanya. Sempang bermakna fungsi tidak ditentukan pada ketika itu.
| Ijazah | Radian | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Formula teras
Identiti
| sin²x + cos²x = 1 | identiti asas |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Jumlah hujah
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Sudut dua dan separuh
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formula pengurangan
Peraturannya: untuk π/2 dan 3π/2 fungsi bertukar kepada kofungsinya (sin ↔ cos, tan ↔ cot); untuk π dan 2π ia kekal sama. Tanda diambil dari kuadran sudut asalnya.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teori: cara menyelesaikan persamaan asas
Persamaan trigonometri asas ialah kesamaan bentuk sin x = a, cos x = a atau tan x = a. Menyelesaikannya bermakna mencari semua sudut di mana fungsi itu sama dengan a. Terdapat banyak sudut sedemikian: fungsinya adalah berkala, jadi jawapannya ditulis sebagai formula umum dengan parameter integer n.
Tempoh sinus ialah 2π, tetapi pada suatu kala puncanya adalah simetri kira-kira π/2, itulah sebabnya formula mengandungi faktor (−1)ⁿ dan tempoh πn. Akar kosinus adalah simetri kira-kira sifar - oleh itu tanda ±. Tangen mempunyai kala π dan formula paling mudah daripada kesemuanya.
Kes khas sin x = 0, ±1 dan cos x = 0, ±1 dihafal secara berasingan. Formula umum berfungsi untuk mereka juga, tetapi ia adalah besar, dan bentuk pendek menjimatkan masa semasa peperiksaan.
Jika |a| > 1, persamaan dengan sinus atau kosinus tidak mempunyai penyelesaian: fungsi ini tidak pernah meninggalkan julat dari −1 hingga 1. Tangen dan kotangen tidak mempunyai sekatan sedemikian — ia mengambil sebarang nilai.