Trygonometria — tabele, wzory i równania wyjaśnione krok po kroku
Podstawowe równanie trygonometryczne
Wybierz funkcję i wprowadź ją po prawej stronie, aby uzyskać ogólny wzór na pierwiastki i wyjaśnienie, w jaki sposób został on uzyskany. Odpowiedź jest zapisana tak, jak tego oczekuje nauczyciel: za pomocą n ∈ ℤ.
Jak to rozwiązano – krok po kroku
Na wykresie: dlaczego istnieje nieskończenie wiele pierwiastków
Pomarańczowa linia y = a przecina falę w punktach rozwiązania. Sinus i cosinus powtarzają się co 2π (jest to okres), więc przecięcia tworzą nieskończony łańcuch — każdy okres dodaje ten sam zestaw pierwiastków. Stąd pochodzi „+ 2πn” lub „+ πn” w odpowiedzi.
Na okręgu jednostkowym
Kąt mierzony jest od osi co w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Cosinus kąta to pozioma współrzędna punktu, sinus to pionowa. Rozwiązaniem sin x = a są punkty, których wysokość jest równa a (linia pozioma), a cos x = a to punkty o wymaganej współrzędnej poziomej (linia pionowa). Zwykle na okręgu znajdują się dwa takie punkty – stąd dwa pierwiastki na obrót.
Wartości funkcji dla kąta
Wprowadź kąt w stopniach (na przykład 60) lub w radianach (na przykład π/3 lub pi/3), aby uzyskać sin, cos, tan i cot. W przypadku kątów stołu odpowiedź jest dokładna, w przeciwnym razie jest zaokrąglana do 6 cyfr.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Funkcje odwrotne
arcsin, arccos, arctan i arccot zwracają kąt z wartości funkcji — wartości głównej, w stopniach i radianach. arcsin i arccos są zdefiniowane tylko dla wartości od -1 do 1.
Tabela wartości
Wartości głównych kątów — te, o które najczęściej pytacie. Myślnik oznacza, że funkcja w tym miejscu jest niezdefiniowana.
| Stopnie | Radiany | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Podstawowe formuły
Tożsamości
| sin²x + cos²x = 1 | podstawową tożsamość |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Suma argumentów
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Podwójny i półkąt
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formuły redukcyjne
Zasada: dla π/2 i 3π/2 funkcja przechodzi do swojej kofunkcji (sin ↔ cos, tan ↔ cot); dla π i 2π pozostaje takie samo. Znak jest pobierany z ćwiartki, w której leży pierwotny kąt.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teoria: jak rozwiązywać podstawowe równania
Podstawowym równaniem trygonometrycznym jest równość postaci sin x = a, cos x = a lub tan x = a. Rozwiązanie polega na znalezieniu wszystkich kątów, przy których funkcja jest równa a. Takich kątów jest nieskończenie wiele: funkcje są okresowe, więc odpowiedź zapisuje się jako wzór ogólny z parametrem całkowitym n.
Okres sinusa wynosi 2π, ale w okresie jego pierwiastki są symetryczne około π/2, dlatego wzór zawiera współczynnik (−1)ⁿ i okres πn. Pierwiastki cosinusa są symetryczne względem zera — stąd znak ±. Styczna ma okres π i najprostszą ze wszystkich formułę.
Przypadki szczególne sin x = 0, ±1 i cos x = 0, ±1 są zapamiętywane oddzielnie. Ogólna formuła też im się sprawdza, ale jest nieporęczna, a krótka forma pozwala zaoszczędzić czas podczas egzaminu.
Jeśli |a| > 1, równanie z sinusem lub cosinusem nie ma rozwiązań: funkcje te nigdy nie wychodzą z zakresu od -1 do 1. Tangens i cotangens nie mają takich ograniczeń - przyjmują dowolną wartość.