Trygonometria — wartości, upraszczanie i równania z rozwiązaniem krok po kroku
Zadanie
Wpisz wyrażenie, równanie albo to, co trzeba uprościć — tak jak w zeszycie. Liczba bez znaku stopnia oznacza stopnie, radiany zapisuj przez π.
Jak to rozwiązano — krok po kroku
Pozostałe funkcje tego kąta
Na wykresie: dlaczego rozwiązań jest nieskończenie wiele
Pomarańczowa prosta y = a przecina falę w punktach będących rozwiązaniami. Sinus i cosinus powtarzają się co 2π (to jest okres), więc punkty przecięcia tworzą nieskończony ciąg — każdy okres dokłada ten sam zestaw rozwiązań. Stąd „+ 2πn” albo „+ πn” w odpowiedzi.
Na okręgu jednostkowym
Kąt odmierzamy od osi cos przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Cosinus kąta to pozioma współrzędna punktu, a sinus — pionowa. Rozwiązania sin x = a to punkty na wysokości a (prosta pozioma), a cos x = a — punkty o zadanej współrzędnej poziomej (prosta pionowa). Zwykle takie punkty na okręgu są dwa — stąd dwa rozwiązania na każdy obrót.
Kąt odmierzamy od osi cos przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Cosinus to pozioma współrzędna punktu, a sinus — pionowa.
Trójkąt prostokątny
Wpisz dowolne dwie wielkości, w tym co najmniej jeden bok — resztę obliczymy.
sin α = a/c — stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej, cos α = b/c — przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, tg α = a/b — przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyległej.
Jak to rozwiązano — krok po kroku
Tabela wartości
Wartości dla najważniejszych kątów — o nie pyta się najczęściej. Kreska oznacza, że funkcja nie jest w tym punkcie określona.
| Stopnie | Radiany | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Podstawowe wzory
Tożsamości
| sin²x + cos²x = 1 | jedynka trygonometryczna |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Suma i różnica kątów
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Kąt podwojony i połówkowy
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Wzory redukcyjne
Zasada: dla π/2 i 3π/2 funkcja zmienia się na kofunkcję (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), dla π i 2π pozostaje ta sama. Znak ustalamy według ćwiartki, w której leży wyjściowy kąt.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teoria: jak rozwiązywać najprostsze równania
Najprostsze równanie trygonometryczne to równość postaci sin x = a, cos x = a lub tg x = a. Rozwiązać je to znaczy znaleźć wszystkie kąty, dla których dana funkcja przyjmuje wartość a. Takich kątów jest nieskończenie wiele: funkcje są okresowe, dlatego odpowiedź zapisuje się ogólnym wzorem z parametrem całkowitym n.
Okres sinusa wynosi 2π, ale rozwiązania w jednym okresie leżą symetrycznie względem π/2, dlatego wzór zawiera czynnik (−1)ⁿ i okres πn. Rozwiązania dla cosinusa są symetryczne względem zera — stąd znak ±. Tangens ma okres π i najprostszy wzór ze wszystkich.
Przypadki szczególne sin x = 0, ±1 i cos x = 0, ±1 zapamiętuje się osobno. Ogólny wzór też dla nich działa, ale jest rozbudowany, a krótki zapis oszczędza czas na sprawdzianie.
Jeśli |a| > 1, równanie z sinusem lub cosinusem nie ma rozwiązań: te funkcje nigdy nie wychodzą poza przedział od −1 do 1. Tangens i cotangens nie mają takiego ograniczenia — przyjmują dowolne wartości.
Czy to jest darmowe?
Tak, całkowicie za darmo i bez rejestracji. Narzędzie działa w całości w Twojej przeglądarce: plik nigdy nie trafia na serwer, więc serwer nie zużywa ani procesora, ani transferu — nie ma za co pobierać opłaty. Bez znaków wodnych, bez ograniczeń rozmiaru i liczby plików.