Trigonometria — tabelas, fórmulas e equações explicadas passo a passo
Equação trigonométrica básica
Escolha uma função e digite no lado direito para obter a fórmula geral das raízes e uma explicação de como ela foi obtida. A resposta está escrita da maneira que um professor espera: com n ∈ ℤ.
Como foi resolvido – passo a passo
No gráfico: por que existem infinitas raízes
A linha laranja y = a cruza a onda nos pontos de solução. Seno e cosseno se repetem a cada 2π (este é o período), então as interseções formam uma cadeia infinita – cada período adiciona o mesmo conjunto de raízes. É daí que vem o “+ 2πn” ou “+ πn” na resposta.
No círculo unitário
O ângulo é medido a partir do eixo cos no sentido anti-horário. O cosseno do ângulo é a coordenada horizontal do ponto, o seno é a vertical. As soluções de sen x = a são os pontos cuja altura é igual a a (uma linha horizontal), e cos x = a são os pontos com a coordenada horizontal necessária (uma linha vertical). Normalmente existem dois desses pontos no círculo – portanto, duas raízes por revolução.
Valores de função para um ângulo
Insira um ângulo em graus (por exemplo 60) ou em radianos (por exemplo π/3 ou pi/3) para obter sen, cos, tan e cot. Para ângulos de mesa a resposta é exata, caso contrário é arredondada para 6 dígitos.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Funções inversas
arcsin, arccos, arctan e arccot retornam o ângulo de um valor de função — o valor principal, em graus e radianos. arcsin e arccos são definidos apenas para valores de -1 a 1.
Tabela de valores
Valores para os ângulos principais — os mais questionados. Um traço significa que a função está indefinida naquele ponto.
| Graus | Radianos | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Fórmulas principais
Identidades
| sin²x + cos²x = 1 | a identidade fundamental |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Soma dos argumentos
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Duplo e meio ângulo
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Fórmulas de redução
A regra: para π/2 e 3π/2 a função muda para sua cofunção (sin ↔ cos, tan ↔ cot); para π e 2π permanece o mesmo. O sinal é obtido do quadrante em que se encontra o ângulo original.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teoria: como resolver equações básicas
Uma equação trigonométrica básica é uma igualdade da forma sin x = a, cos x = a ou tan x = a. Resolvê-lo significa encontrar todos os ângulos nos quais a função é igual a a. Existem infinitos ângulos assim: as funções são periódicas, então a resposta é escrita como uma fórmula geral com um parâmetro inteiro n.
O período do seno é 2π, mas em um período suas raízes são simétricas em relação a π/2, razão pela qual a fórmula contém o fator (−1)ⁿ e o período πn. As raízes do cosseno são simétricas em relação a zero – daí o sinal ±. A tangente tem período π e a fórmula mais simples de todas.
Os casos especiais sen x = 0, ±1 e cos x = 0, ±1 são memorizados separadamente. A fórmula geral também funciona para eles, mas é complicada e a forma abreviada economiza tempo durante o exame.
Se |a| > 1, uma equação com seno ou cosseno não tem solução: essas funções nunca saem do intervalo de -1 a 1. A tangente e a cotangente não têm tal restrição - elas assumem qualquer valor.