Trigonometrie — valori, simplificări și ecuații rezolvate pas cu pas
Exercițiu
Introduceți o expresie, o ecuație sau ce trebuie simplificat, așa cum ați scrie în caiet. Un număr fără semnul de grad este citit în grade; pentru radiani folosiți π.
Cum s-a rezolvat — pas cu pas
Celelalte funcții ale acestui unghi
Pe grafic: de ce există o infinitate de soluții
Dreapta portocalie y = a intersectează unda în punctele-soluție. Sinusul și cosinusul se repetă la fiecare 2π (aceasta este perioada), de aceea intersecțiile formează un lanț infinit — fiecare perioadă adaugă același set de soluții. De aici vine „+ 2πn” sau „+ πn” din răspuns.
Pe cercul trigonometric
Unghiul se măsoară de la axa cos, în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic). Cosinusul unghiului este coordonata orizontală a punctului, iar sinusul — cea verticală. Soluțiile ecuației sin x = a sunt punctele aflate la înălțimea a (o dreaptă orizontală), iar ale ecuației cos x = a — punctele cu coordonata orizontală dorită (o dreaptă verticală). De obicei pe cerc există două astfel de puncte — de aici cele două soluții la fiecare rotație.
Unghiul se măsoară de la axa cos, în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic). Cosinusul este coordonata orizontală a punctului, iar sinusul — coordonata verticală.
Triunghi dreptunghic
Introduceți oricare două mărimi, dintre care cel puțin o latură, iar restul se calculează.
sin α = a/c — cateta opusă supra ipotenuză, cos α = b/c — cateta alăturată supra ipotenuză, tg α = a/b — cateta opusă supra cateta alăturată.
Cum s-a rezolvat — pas cu pas
Tabelul valorilor
Valorile pentru unghiurile principale — cele cerute cel mai des. O liniuță înseamnă că funcția nu este definită în acel punct.
| Grade | Radiani | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Formule de bază
Identități
| sin²x + cos²x = 1 | formula fundamentală a trigonometriei |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Suma și diferența unghiurilor
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Unghiul dublu și jumătatea unghiului
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formule de reducere
Regula: pentru π/2 și 3π/2 funcția trece în cofuncția ei (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), iar pentru π și 2π rămâne aceeași. Semnul se ia după cadranul în care se află unghiul inițial.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teorie: cum se rezolvă ecuațiile trigonometrice fundamentale
O ecuație trigonometrică fundamentală este o egalitate de forma sin x = a, cos x = a sau tg x = a. A o rezolva înseamnă a găsi toate unghiurile pentru care funcția ia valoarea a. Astfel de unghiuri sunt o infinitate: funcțiile sunt periodice, de aceea răspunsul se scrie printr-o formulă generală cu parametrul întreg n.
Perioada sinusului este 2π, dar soluțiile dintr-o perioadă sunt simetrice față de π/2, de aceea formula conține factorul (−1)ⁿ și perioada πn. La cosinus soluțiile sunt simetrice față de zero — de aici semnul ±. Tangenta are perioada π și cea mai simplă formulă dintre toate.
Cazurile particulare sin x = 0, ±1 și cos x = 0, ±1 se rețin separat. Formula generală funcționează și pentru ele, dar e greoaie, iar scrierea scurtă economisește timp la examen.
Dacă |a| > 1, ecuația cu sinus sau cosinus nu are soluții: aceste funcții nu ies niciodată din intervalul de la −1 la 1. Tangenta și cotangenta nu au această restricție — iau orice valoare.
Este gratuit?
Da, complet gratuit și fără înregistrare. Instrumentul rulează în întregime în browserul dumneavoastră: fișierul nu ajunge niciodată pe un server, așa că serverul nu consumă nici procesor, nici trafic — nu are pentru ce să ceară bani. Fără filigrane, fără limite de dimensiune sau de număr al fișierelor.