Trigonometrie — tabele, formule și ecuații explicate pas cu pas
Ecuația trigonometrică de bază
Alegeți o funcție și introduceți în partea dreaptă pentru a obține formula generală pentru rădăcini și o explicație a modului în care a fost obținută. Răspunsul este scris așa cum se așteaptă un profesor: cu n ∈ ℤ.
Cum s-a rezolvat - pas cu pas
Pe grafic: de ce există infinit de rădăcini
Linia portocalie y = a traversează unda în punctele de soluție. Sinusul și cosinusul se repetă la fiecare 2π (aceasta este perioada), astfel încât intersecțiile formează un lanț infinit - fiecare perioadă adaugă același set de rădăcini. De aici provine „+ 2πn” sau „+ πn” din răspuns.
Pe cercul unității
Unghiul este măsurat de pe axa cos în sens invers acelor de ceasornic. Cosinusul unghiului este coordonata orizontală a punctului, sinusul este cea verticală. Soluțiile lui sin x = a sunt punctele a căror înălțime este egală cu a (o linie orizontală), iar cos x = a sunt punctele cu coordonata orizontală necesară (o linie verticală). De obicei, există două astfel de puncte pe cerc - deci două rădăcini pe revoluție.
Valorile funcției pentru un unghi
Introduceți un unghi în grade (de exemplu 60) sau în radiani (de exemplu π/3 sau pi/3) pentru a obține sin, cos, tan și cot. Pentru unghiurile de tabel răspunsul este exact, altfel este rotunjit la 6 cifre.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Funcții inverse
arcsin, arccos, arctan și arccot returnează unghiul dintr-o valoare a funcției — valoarea principală, în grade și radiani. arcsin și arccos sunt definite numai pentru valori de la -1 la 1.
Tabelul de valori
Valori pentru unghiurile principale — cele despre care sunt întrebate cel mai des. O liniuță înseamnă că funcția este nedefinită în acel moment.
| Grade | Radiani | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Formule de bază
Identități
| sin²x + cos²x = 1 | identitatea fundamentală |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Suma argumentelor
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Unghi dublu și jumătate
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formule de reducere
Regula: pentru π/2 și 3π/2 funcția trece la cofuncția sa (sin ↔ cos, tan ↔ cot); pentru π și 2π rămâne același. Semnul este luat din cadranul în care se află unghiul inițial.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teorie: cum se rezolvă ecuații de bază
O ecuație trigonometrică de bază este o egalitate de forma sin x = a, cos x = a sau tan x = a. Rezolvarea acesteia înseamnă găsirea toate unghiurilor la care funcția este egală cu a. Există infinit de multe astfel de unghiuri: funcțiile sunt periodice, deci răspunsul este scris ca o formulă generală cu un parametru întreg n.
Perioada sinusului este 2π, dar pe o perioadă rădăcinile sale sunt simetrice față de π/2, motiv pentru care formula conține factorul (−1)ⁿ și perioada πn. Rădăcinile cosinusului sunt simetrice față de zero - de aici semnul ±. Tangenta are perioada π și cea mai simplă formulă dintre toate.
Cazurile speciale sin x = 0, ±1 și cos x = 0, ±1 sunt memorate separat. Formula generală funcționează și pentru ei, dar este voluminoasă, iar forma scurtă economisește timp în timpul unui examen.
Dacă |a| > 1, o ecuație cu un sinus sau un cosinus nu are soluții: aceste funcții nu părăsesc niciodată intervalul de la −1 la 1. Tangenta și cotangenta nu au o astfel de restricție - ele iau orice valoare.