Тригонометрия — таблицы, формулы и уравнения с разбором по шагам
Простейшее тригонометрическое уравнение
Выберите функцию и введите правую часть — получите общую формулу корней и разбор, как она получена. Ответ записан так же, как его ждут в тетради: с n ∈ ℤ.
Как это решено — по шагам
На графике: почему корней бесконечно много
Оранжевая линия y = a пересекает волну в точках-решениях. Синус и косинус повторяются каждые 2π (это период), поэтому пересечения идут бесконечной цепочкой — за каждый период добавляется тот же набор корней. Отсюда «+ 2πn» или «+ πn» в ответе.
На единичной окружности
Угол откладывается от оси cos против часовой стрелки. Косинус угла — это координата точки по горизонтали, синус — по вертикали. Решения sin x = a — это точки, у которых высота равна a (горизонтальная линия), а cos x = a — точки с нужной горизонтальной координатой (вертикальная линия). Обычно таких точек на круге две — отсюда два корня на каждом обороте.
Значения функций по углу
Введите угол в градусах (например, 60) или в радианах (например, π/3 или pi/3) — получите sin, cos, tg и ctg. Для табличных углов ответ точный, иначе округлён до 6 знаков.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Обратные функции
arcsin, arccos, arctg и arcctg возвращают угол по значению функции — главное значение, в градусах и радианах. arcsin и arccos определены только для значений от −1 до 1.
Таблица значений
Значения для основных углов — их спрашивают чаще всего. Прочерк означает, что функция в этой точке не определена.
| Градусы | Радианы | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Основные формулы
Тождества
| sin²x + cos²x = 1 | основное тождество |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Сложение аргументов
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Двойной и половинный угол
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Формулы приведения
Правило: от π/2 и 3π/2 функция меняется на «кофункцию» (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), от π и 2π — не меняется. Знак берётся по четверти, в которой лежит исходный угол.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Теория: как решать простейшие уравнения
Простейшее тригонометрическое уравнение — это равенство вида sin x = a, cos x = a, tg x = a. Решить его означает найти все углы, у которых нужная функция равна a. Таких углов бесконечно много: функции периодические, поэтому ответ записывают общей формулой с целым параметром n.
Для синуса период равен 2π, но корни на отрезке расположены симметрично относительно π/2, поэтому формула содержит множитель (−1)ⁿ и период πn. Для косинуса корни симметричны относительно нуля — отсюда знак ±. У тангенса период π, и формула самая простая.
Отдельно запоминают частные случаи: sin x = 0, ±1 и cos x = 0, ±1. Общая формула для них тоже верна, но громоздка, а короткая запись экономит время на экзамене.
Если |a| > 1, уравнение с синусом или косинусом решений не имеет: эти функции никогда не выходят за пределы отрезка от −1 до 1. У тангенса и котангенса такого ограничения нет — они принимают любые значения.