Trigonometria — tabuľky, vzorce a rovnice vysvetlené krok za krokom
Základná goniometrická rovnica
Vyberte funkciu a zadajte pravú stranu, aby ste získali všeobecný vzorec pre korene a vysvetlenie, ako bol získaný. Odpoveď je napísaná tak, ako ju učiteľ očakáva: s n ∈ ℤ.
Ako sa to vyriešilo – krok za krokom
Na grafe: prečo existuje nekonečne veľa koreňov
Oranžová čiara y = a pretína vlnu v bodoch riešenia. Sínus a kosínus sa opakujú každé 2π (toto je perióda), takže priesečníky tvoria nekonečný reťazec – každá perióda pridáva rovnakú množinu koreňov. Odtiaľ pochádza „+ 2πn“ alebo „+ πn“ v odpovedi.
Na jednotkovom kruhu
Uhol sa meria od osi cos proti smeru hodinových ručičiek. Kosínus uhla je horizontálna súradnica bodu, sínus je vertikálna. Riešenia sin x = a sú body, ktorých výška sa rovná a (horizontálna čiara) a cos x = a sú body s požadovanou horizontálnou súradnicou (vertikálna čiara). Zvyčajne sú na kruhu dva takéto body - teda dva korene na otáčku.
Funkčné hodnoty pre uhol
Zadajte uhol v stupňoch (napríklad 60) alebo v radiánoch (napríklad π/3 alebo pi/3), aby ste dostali sin, cos, tan a cot. Pri tabuľkových uhloch je odpoveď presná, inak sa zaokrúhľuje na 6 číslic.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Inverzné funkcie
arcsin, arccos, arctan a arccot vracajú uhol z funkčnej hodnoty – hlavnej hodnoty, v stupňoch a radiánoch. arcsin a arccos sú definované len pre hodnoty od -1 do 1.
Tabuľka hodnôt
Hodnoty pre hlavné uhly – tie, na ktoré sa pýtate najčastejšie. Pomlčka znamená, že funkcia je v tomto bode nedefinovaná.
| Stupne | radiány | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Základné vzorce
identity
| sin²x + cos²x = 1 | základná identita |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Súčet argumentov
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Dvojitý a polovičný uhol
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Redukčné vzorce
Pravidlo: pre π/2 a 3π/2 sa funkcia prepne na svoju kofunkciu (sin ↔ cos, tan ↔ cot); pre π a 2π to zostáva rovnaké. Znak je prevzatý z kvadrantu, v ktorom leží pôvodný uhol.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teória: ako riešiť základné rovnice
Základná goniometrická rovnica je rovnosť tvaru sin x = a, cos x = a alebo tan x = a. Vyriešiť to znamená nájsť všetky uhly, pri ktorých sa funkcia rovná a. Takýchto uhlov je nekonečne veľa: funkcie sú periodické, takže odpoveď je napísaná ako všeobecný vzorec s celočíselným parametrom n.
Perióda sínusu je 2π, ale na perióde sú jeho korene symetrické okolo π/2, preto vzorec obsahuje faktor (−1)ⁿ a periódu πn. Korene kosínusu sú symetrické okolo nuly – preto znamienko ±. Dotyčnica má periódu π a najjednoduchší vzorec zo všetkých.
Špeciálne prípady sin x = 0, ±1 a cos x = 0, ±1 sa ukladajú samostatne. Všeobecný vzorec funguje aj pre nich, ale je objemný a krátky formulár šetrí čas počas skúšky.
Ak |a| > 1, rovnica so sínusom alebo kosínusom nemá riešenia: tieto funkcie nikdy neopustia rozsah od -1 do 1. Dotyčnica a kotangens takéto obmedzenie nemajú – nadobúdajú akúkoľvek hodnotu.