Trigonometria — hodnoty, zjednodušovanie a rovnice s riešením krok za krokom
Úloha
Zadajte výraz, rovnicu alebo to, čo treba zjednodušiť — tak, ako by ste to písali do zošita. Číslo bez znaku stupňa sa berie v stupňoch, radiány zadávajte cez π.
Ako sa to riešilo — krok za krokom
Ostatné funkcie tohto uhla
Na grafe: prečo je koreňov nekonečne veľa
Oranžová priamka y = a pretína vlnu v bodoch, ktoré sú riešeniami. Sínus a kosínus sa opakujú každých 2π (to je perióda), preto priesečníky tvoria nekonečný reťazec — každá perióda pridá rovnakú sadu koreňov. Odtiaľ „+ 2πn“ alebo „+ πn“ v odpovedi.
Na jednotkovej kružnici
Uhol sa nanáša od osi cos proti smeru hodinových ručičiek. Kosínus uhla je vodorovná súradnica bodu, sínus zvislá. Riešenia sin x = a sú body vo výške a (vodorovná priamka), riešenia cos x = a sú body s požadovanou vodorovnou súradnicou (zvislá priamka). Na kružnici sú zvyčajne dva také body — preto dva korene na každú otáčku.
Uhol sa nanáša od osi cos proti smeru hodinových ručičiek. Kosínus je vodorovná súradnica bodu, sínus zvislá.
Pravouhlý trojuholník
Zadajte ľubovoľné dve veličiny, z toho aspoň jednu stranu — zvyšok sa dopočíta.
sin α = a/c — pomer protiľahlej odvesny a prepony, cos α = b/c — pomer priľahlej odvesny a prepony, tg α = a/b — pomer protiľahlej a priľahlej odvesny.
Ako sa to riešilo — krok za krokom
Tabuľka hodnôt
Hodnoty pre základné uhly — na tie sa pýtajú najčastejšie. Pomlčka znamená, že funkcia v tomto bode nie je definovaná.
| Stupne | Radiány | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Základné vzorce
Základné vzťahy
| sin²x + cos²x = 1 | základný vzťah |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Súčtové vzorce
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Dvojnásobný a polovičný uhol
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Redukčné vzorce
Pravidlo: pri π/2 a 3π/2 sa funkcia mení na kofunkciu (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), pri π a 2π zostáva rovnaká. Znamienko určuje kvadrant, v ktorom leží pôvodný uhol.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teória: ako riešiť základné goniometrické rovnice
Základná goniometrická rovnica je rovnosť tvaru sin x = a, cos x = a alebo tg x = a. Vyriešiť ju znamená nájsť všetky uhly, pre ktoré sa daná funkcia rovná a. Takých uhlov je nekonečne veľa: funkcie sú periodické, preto sa odpoveď zapisuje všeobecným vzorcom s celočíselným parametrom n.
Perióda sínusu je 2π, ale korene v rámci periódy sú súmerné podľa π/2, preto vzorec obsahuje činiteľ (−1)ⁿ a periódu πn. Korene kosínusu sú súmerné vzhľadom na nulu — odtiaľ znamienko ±. Tangens má periódu π a najjednoduchší vzorec zo všetkých.
Osobitné prípady sin x = 0, ±1 a cos x = 0, ±1 sa oplatí zapamätať zvlášť. Všeobecný vzorec pre ne tiež platí, ale je ťažkopádny, kým krátky zápis ušetrí čas na písomke.
Ak |a| > 1, rovnica so sínusom alebo kosínusom nemá riešenie: tieto funkcie nikdy neopustia interval od −1 do 1. Tangens a kotangens také obmedzenie nemajú — nadobúdajú ľubovoľné hodnoty.
Je to zadarmo?
Áno, úplne zadarmo a bez registrácie. Nástroj beží celý vo vašom prehliadači: súbor nikdy neodchádza na server, takže server nespotrebuje ani procesor, ani dáta — niet za čo pýtať peniaze. Žiadne vodoznaky, žiadne obmedzenia veľkosti ani počtu súborov.