Trigonometrija — vrednosti, uprošćavanje i jednačine sa objašnjenjem korak po korak
Zadatak
Unesite izraz, jednačinu ili ono što treba uprostiti — onako kako biste napisali u svesci. Broj bez znaka za stepen računa se u stepenima, a radijani se pišu pomoću π.
Kako je rešeno — korak po korak
Ostale funkcije ovog ugla
Na grafiku: zašto rešenja ima beskonačno mnogo
Narandžasta prava y = a seče talas u tačkama koje su rešenja. Sinus i kosinus se ponavljaju na svakih 2π (to je period), pa preseci čine beskonačan niz — svaki period dodaje isti skup rešenja. Odatle potiče „+ 2πn“ ili „+ πn“ u odgovoru.
Na jediničnom krugu
Ugao se nanosi od ose cos u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Kosinus ugla je horizontalna koordinata tačke, a sinus vertikalna. Rešenja jednačine sin x = a su tačke čija je visina jednaka a (horizontalna prava), a rešenja jednačine cos x = a su tačke sa traženom horizontalnom koordinatom (vertikalna prava). Obično su na krugu dve takve tačke — odatle dva rešenja u svakom punom krugu.
Ugao se nanosi od ose cos u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Kosinus je horizontalna koordinata tačke, a sinus vertikalna.
Pravougli trougao
Unesite bilo koje dve veličine, od kojih je bar jedna stranica, i ostalo će se izračunati.
sin α = a/c — odnos naspramne katete i hipotenuze, cos α = b/c — odnos nalegle katete i hipotenuze, tg α = a/b — odnos naspramne i nalegle katete.
Kako je rešeno — korak po korak
Tabela vrednosti
Vrednosti za osnovne uglove — o njima se najčešće pita. Crtica znači da funkcija u toj tački nije definisana.
| Stepeni | Radijani | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Osnovne formule
Identiteti
| sin²x + cos²x = 1 | osnovni identitet |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Adicione formule
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Dvostruki i polovični ugao
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formule redukcije
Pravilo: kod π/2 i 3π/2 funkcija prelazi u svoju „kofunkciju“ (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), a kod π i 2π se ne menja. Znak se određuje prema kvadrantu u kome leži polazni ugao.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teorija: kako se rešavaju osnovne jednačine
Osnovna trigonometrijska jednačina je jednakost oblika sin x = a, cos x = a, tg x = a. Rešiti je znači naći sve uglove za koje je data funkcija jednaka a. Takvih uglova ima beskonačno mnogo: funkcije su periodične, pa se odgovor zapisuje opštom formulom sa celobrojnim parametrom n.
Period sinusa je 2π, ali su na jednom periodu njegova rešenja simetrična u odnosu na π/2, zato formula sadrži činilac (−1)ⁿ i period πn. Rešenja za kosinus su simetrična u odnosu na nulu — odatle znak ±. Tangens ima period π i najjednostavniju formulu.
Posebni slučajevi sin x = 0, ±1 i cos x = 0, ±1 pamte se zasebno. Opšta formula i za njih važi, ali je glomazna, a kraći zapis štedi vreme na ispitu.
Ako je |a| > 1, jednačina sa sinusom ili kosinusom nema rešenja: ove funkcije nikada ne izlaze iz segmenta od −1 do 1. Tangens i kotangens nemaju takvo ograničenje — oni uzimaju bilo koju vrednost.
Da li je ovo besplatno?
Da, potpuno besplatno i bez registracije. Alat radi u celosti u vašem pregledaču: fajl nikada ne odlazi na server, pa server ne troši ni procesor ni saobraćaj — nema se šta naplatiti. Bez vodenih žigova, bez ograničenja veličine i broja fajlova.