Trigonometrija — tabele, formule i jednačine objašnjene korak po korak
Osnovna trigonometrijska jednačina
Izaberite funkciju i unesite desnu stranu da biste dobili opštu formulu za korene i objašnjenje kako je dobijena. Odgovor je napisan onako kako nastavnik očekuje: sa n ∈ ℤ.
Kako je to rešeno — korak po korak
Na grafikonu: zašto ima beskonačno mnogo korena
Narandžasta linija i = a prelazi talas u tačkama rešenja. Sinus i kosinus se ponavljaju svakih 2π (ovo je period), tako da preseci formiraju beskonačan lanac — svaki period dodaje isti skup korena. Odatle dolazi „+ 2πn” ili „+ πn” u odgovoru.
Na jediničnom krugu
Ugao se meri od cos ose suprotno od kazaljke na satu. Kosinus ugla je horizontalna koordinata tačke, sinus je vertikalni. Rešenja sin k = a su tačke čija je visina jednaka a (horizontalna linija), a cos k = a su tačke sa traženom horizontalnom koordinatom (vertikalna linija). Obično postoje dve takve tačke na krugu — dakle dva korena po obrtaju.
Vrednosti funkcije za ugao
Unesite ugao u stepenima (na primer 60) ili u radijanima (na primer π/3 ili pi/3) da biste dobili sin, cos, tan i cot. Za uglove tabele odgovor je tačan, inače se zaokružuje na 6 cifara.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Inverzne funkcije
arcsin, arccos, arctan i arckot vraćaju ugao iz vrednosti funkcije — glavne vrednosti, u stepenima i radijanima. arcsin i arccos su definisani samo za vrednosti od −1 do 1.
Tabela vrednosti
Vrednosti za glavne uglove — one o kojima se najčešće pita. Crtica znači da je funkcija u tom trenutku nedefinisana.
| Stepeni | Radijani | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Osnovne formule
Identiteti
| sin²x + cos²x = 1 | fundamentalni identitet |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Zbir argumenata
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Dvostruki i polovični ugao
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Formule redukcije
Pravilo: za π/2 i 3π/2 funkcija prelazi na svoju kofunkciju (sin ↔ cos, tan ↔ cot); za π i 2π ostaje isto. Znak je uzet iz kvadranta u kome leži prvobitni ugao.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teorija: kako rešiti osnovne jednačine
Osnovna trigonometrijska jednačina je jednakost oblika sin k = a, cos k = a ili tan k = a. Rešavanje znači pronalaženje svih uglova pod kojima je funkcija jednaka a. Takvih uglova ima beskonačno mnogo: funkcije su periodične, pa je odgovor napisan kao opšta formula sa celobrojnim parametrom n.
Period sinusa je 2π, ali su u periodu njegovi koreni simetrični oko π/2, zbog čega formula sadrži faktor (−1)ⁿ i period πn. Koreni kosinusa su simetrični oko nule - otuda znak ±. Tangenta ima period π i najjednostavniju formulu od svih.
Posebni slučajevi sin k = 0, ±1 i cos k = 0, ±1 se pamte zasebno. Opšta formula radi i za njih, ali je glomazna, a kratka formula štedi vreme tokom ispita.
Ako |a| > 1, jednačina sa sinusom ili kosinusom nema rešenja: ove funkcije nikada ne izlaze iz opsega od −1 do 1. Tangenta i kotangens nemaju takvo ograničenje — oni uzimaju bilo koju vrednost.