Тригонометрия — ҷадвалҳо, формулаҳо ва муодилаҳо зина ба зина шарҳ дода мешаванд
Муодилаи асосии тригонометрӣ
Функсияро интихоб кунед ва тарафи ростро ворид кунед, то формулаи умумии решаҳо ва шарҳи он, ки чӣ тавр ба даст оварда шудааст, гиред. Ҷавоб тавре навишта мешавад, ки муаллим интизор аст: бо n ∈ ℤ.
Он чй тавр хал карда шуд — кадам ба кадам
Дар график: чаро решаҳои беохир вуҷуд доранд
Хати норанҷии y = a мавҷро дар нуқтаҳои маҳлул убур мекунад. Синус ва косинус ҳар 2π такрор мешаванд (ин давра аст), аз ин рӯ буришҳо занҷири беохирро ташкил медиҳанд - ҳар як давра як маҷмӯи решаҳоро илова мекунад. Аз ин ҷост, ки "+ 2πn" ё "+ πn" дар ҷавоб бармеояд.
Дар доираи воҳиди
Кунҷ аз меҳвари cos ба муқобили ақрабаки соат чен карда мешавад. Косинуси кунҷ координати уфуқии нуқта, синуси амудӣ мебошад. Ҳалли sin x = a нуқтаҳое мебошанд, ки баландии онҳо ба a (хати уфуқӣ) баробар аст ва cos x = a нуқтаҳое мебошанд, ки координатаи уфуқии лозимӣ доранд (хати амудӣ). Одатан дар доира ду чунин нуқта мавҷуд аст - аз ин рӯ дар як инқилоб ду реша.
Қиматҳои функсия барои кунҷ
Барои гирифтани sin, cos, tan ва cot кунҷро бо дараҷаҳо (масалан 60) ё радиан (масалан π/3 ё pi/3) ворид кунед. Барои кунҷҳои ҷадвал ҷавоб дақиқ аст, дар акси ҳол он ба 6 рақам мудаввар карда мешавад.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Функсияҳои баръакс
arcsin, arccos, arctan ва arccot кунҷро аз арзиши функсионалӣ - арзиши асосӣ, дар дараҷаҳо ва радианҳо бармегардонанд. arcsin ва arccos танҳо барои арзишҳои аз −1 то 1 муайян карда мешаванд.
Ҷадвали арзишҳо
Арзишҳо барои кунҷҳои асосӣ - онҳое, ки аксар вақт дар бораи он мепурсанд. Тире маънои онро дорад, ки функсия дар он лаҳза номуайян аст.
| Дараҷаҳо | Радианҳо | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Формулаҳои асосӣ
Шахсиятҳо
| sin²x + cos²x = 1 | шахсияти асосӣ |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Маҷмӯи далелҳо
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Дугона ва ним кунҷ
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Формулаҳои коҳиш
Қоида: барои π/2 ва 3π/2 функсия ба кофунксияи худ мегузарад (sin ↔ cos, tan ↔ cot); барои π ва 2π он бетағйир мемонад. Аломат аз чоргонаи кунҷи аслӣ гирифта мешавад.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Назария: чӣ гуна ҳал кардани муодилаҳои асосӣ
Муодилаи асосии тригонометрӣ баробарии шакли sin x = a, cos x = a ё tan x = a мебошад. Ҳалли он маънои дарёфти ҳама кунҷҳоеро дорад, ки дар онҳо функсия ба a баробар аст. Чунин кунҷҳо беохир зиёданд: функсияҳо даврӣ мебошанд, бинобар ин ҷавоб ҳамчун формулаи умумӣ бо параметри бутуни n навишта мешавад.
Давраи синус 2π аст, аммо дар давра решаҳои он тақрибан π/2 симметрӣ мебошанд, аз ин рӯ формула омили (−1)ⁿ ва давраи πn дорад. Решаҳои косинус тақрибан ба сифр симметрӣ доранд - аз ин рӯ аломати ±. Тангенс дорои давраи π ва соддатарин формулаи ҳама аст.
Ҳолатҳои махсуси sin x = 0, ±1 ва cos x = 0, ±1 алоҳида дар хотир нигоҳ дошта мешаванд. Формулаи умумӣ барои онҳо низ кор мекунад, аммо он калон аст ва шакли кӯтоҳ вақтро ҳангоми имтиҳон сарфа мекунад.
Агар |а| > 1, муодила бо синус ё косинус ҳалли худро надорад: ин функсияҳо ҳеҷ гоҳ диапазони аз −1 то 1-ро тарк намекунанд. Тангенс ва котангенс чунин маҳдудият надоранд — онҳо ягон арзиш мегиранд.