ตรีโกณมิติ — ตาราง สูตร และสมการที่อธิบายทีละขั้นตอน
สมการตรีโกณมิติพื้นฐาน
เลือกฟังก์ชันแล้วป้อนทางด้านขวามือเพื่อดูสูตรทั่วไปของรากและคำอธิบายว่าได้มาอย่างไร คำตอบถูกเขียนตามที่ครูคาดหวัง: ด้วย n ∈ ℤ
วิธีการแก้ไข — ทีละขั้นตอน
บนกราฟ: ทำไมจึงมีรากมากมายนับไม่ถ้วน
เส้นสีส้ม y = a ตัดผ่านคลื่นที่จุดแก้โจทย์ ไซน์และโคไซน์ทำซ้ำทุกๆ 2π (นี่คือคาบ) ดังนั้นจุดตัดจึงก่อตัวเป็นลูกโซ่อนันต์ - แต่ละคาบจะเพิ่มรากชุดเดียวกัน นั่นคือที่มาของคำว่า "+ 2πn" หรือ "+ πn"
บนวงกลมหน่วย
มุมวัดจากแกนคอสทวนเข็มนาฬิกา โคไซน์ของมุมคือพิกัดแนวนอนของจุด ไซน์คือพิกัดแนวตั้ง ผลเฉลยของ sin x = a คือจุดที่ความสูงเท่ากับ a (เส้นแนวนอน) และ cos x = a คือจุดที่มีพิกัดแนวนอนที่ต้องการ (เส้นแนวตั้ง) โดยปกติแล้วจะมีจุดดังกล่าวสองจุดบนวงกลม — ดังนั้น จึงมีรากสองจุดต่อการปฏิวัติ
ค่าฟังก์ชันสำหรับมุม
ป้อนมุมเป็นองศา (เช่น 60) หรือเป็นเรเดียน (เช่น π/3 หรือ pi/3) เพื่อให้ได้ค่า sin, cos, tan และ cot สำหรับมุมโต๊ะ คำตอบคือถูกต้องทุกประการ มิฉะนั้นจะปัดเศษเป็น 6 หลัก
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
ฟังก์ชันผกผัน
arcsin, arccos, arctan และ arccot ส่งคืนค่ามุมจากค่าฟังก์ชัน — ค่าหลักในหน่วยองศาและเรเดียน arcsin และ arccos ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าตั้งแต่ −1 ถึง 1 เท่านั้น
ตารางค่า
ค่านิยมสำหรับมุมหลัก — สิ่งที่ถูกถามบ่อยที่สุด เส้นประหมายถึงไม่ได้กำหนดฟังก์ชัน ณ จุดนั้น
| องศา | เรเดียน | sin | cos | tg | ctg |
|---|
สูตรหลัก
ตัวตน
| sin²x + cos²x = 1 | เอกลักษณ์พื้นฐาน |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
ผลรวมของการโต้แย้ง
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
มุมสองและครึ่ง
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
สูตรลด
กฎ: สำหรับ π/2 และ 3π/2 ฟังก์ชันจะสลับไปที่ฟังก์ชันร่วม (sin ↔ cos, tan ↔ cot) สำหรับ π และ 2π จะยังคงเหมือนเดิม ป้ายนี้นำมาจากจตุรัสที่มีมุมเดิมอยู่
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 ทฤษฎี: วิธีแก้สมการพื้นฐาน
สมการตรีโกณมิติพื้นฐานคือความเท่าเทียมกันของรูปแบบ sin x = a, cos x = a หรือ tan x = a การแก้โจทย์หมายถึงการหามุมทั้งหมดที่ฟังก์ชันเท่ากับ a มีมุมดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน ฟังก์ชันต่างๆ มีคาบ ดังนั้นคำตอบจึงเขียนเป็นสูตรทั่วไปที่มีพารามิเตอร์จำนวนเต็ม n
คาบของไซน์คือ 2π แต่คาบหนึ่งของคาบของมันจะสมมาตรประมาณ π/2 ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมสูตรจึงมีตัวประกอบ (−1)ⁿ และคาบ πn รากของโคไซน์มีความสมมาตรประมาณศูนย์ ดังนั้นจึงมีเครื่องหมาย ± แทนเจนต์มีคาบ π และเป็นสูตรที่ง่ายที่สุด
กรณีพิเศษ sin x = 0, ±1 และ cos x = 0, ±1 จะถูกจดจำแยกกัน สูตรทั่วไปก็ใช้ได้เช่นกัน แต่มันมีขนาดใหญ่ และแบบฟอร์มแบบสั้นช่วยประหยัดเวลาในการสอบ
ถ้า |ก| > 1 สมการที่มีไซน์หรือโคไซน์ไม่มีคำตอบ ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่เคยออกจากช่วงตั้งแต่ −1 ถึง 1 แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ไม่มีข้อจำกัดดังกล่าว — ทั้งคู่รับค่าใดๆ ก็ตาม