ตรีโกณมิติ — หาค่า ลดรูป และแก้สมการ พร้อมอธิบายทีละขั้นตอน

โจทย์

พิมพ์นิพจน์ สมการ หรือสิ่งที่ต้องการลดรูป เหมือนเขียนลงสมุด ตัวเลขที่ไม่มีเครื่องหมายองศาจะถือเป็นองศา ถ้าเป็นเรเดียนให้ใช้ π

ใส่ลงในสูตร:
ลองตัวอย่าง:

วิธีทำ — ทีละขั้นตอน

สามเหลี่ยมมุมฉาก

ใส่ค่าใดก็ได้สองค่า โดยต้องเป็นความยาวด้านอย่างน้อยหนึ่งค่า แล้วค่าที่เหลือจะคำนวณให้เอง

sin α = a/c คือด้านตรงข้ามมุม α หารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก cos α = b/c คือด้านประชิดมุม α หารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tan α = a/b คือด้านตรงข้ามมุม α หารด้วยด้านประชิดมุม α

วิธีทำ — ทีละขั้นตอน

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ค่าของมุมสำคัญ ซึ่งถูกถามบ่อยที่สุด เครื่องหมายขีดหมายความว่าฟังก์ชันไม่นิยามที่จุดนั้น

องศา เรเดียน sin cos tg ctg

สูตรพื้นฐาน

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

sin²x + cos²x = 1 เอกลักษณ์พื้นฐาน
tg x = sin x / cos x ctg x = cos x / sin x
tg x · ctg x = 1 1 + tg²x = 1/cos²x

สูตรผลบวกและผลต่างของมุม

sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β
cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β
tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β)

สูตรมุมสองเท่าและมุมครึ่ง

sin 2α = 2·sin α·cos α
cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
sin²α = (1 − cos 2α)/2 cos²α = (1 + cos 2α)/2

สูตรลดทอนมุม

หลักการ: เมื่อเป็นมุม π/2 หรือ 3π/2 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็น “โคฟังก์ชัน” (sin ↔ cos, tan ↔ cot) เมื่อเป็นมุม π หรือ 2π ฟังก์ชันไม่เปลี่ยน ส่วนเครื่องหมายดูจากจตุภาคที่มุมเดิมอยู่

sin(π/2 − α) = cos α cos(π/2 − α) = sin α
sin(π − α) = sin α cos(π − α) = −cos α
sin(π + α) = −sin α cos(π + α) = −cos α
sin(2π − α) = −sin α cos(2π − α) = cos α
📚 ทฤษฎี: วิธีแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐาน

สมการตรีโกณมิติพื้นฐานคือสมการในรูป sin x = a, cos x = a หรือ tan x = a การแก้สมการคือการหามุมทั้งหมดที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ a มุมเช่นนี้มีมากมายไม่จำกัด เพราะฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันที่มีคาบ คำตอบจึงเขียนเป็นสูตรทั่วไปที่มีพารามิเตอร์ n เป็นจำนวนเต็ม

ไซน์มีคาบ 2π แต่ในหนึ่งคาบรากของมันสมมาตรกันเทียบกับ π/2 สูตรจึงมีตัวคูณ (−1)ⁿ และคาบ πn รากของโคไซน์สมมาตรกันเทียบกับศูนย์ จึงมีเครื่องหมาย ± แทนเจนต์มีคาบ π และมีสูตรที่ง่ายที่สุด

กรณีพิเศษ sin x = 0, ±1 และ cos x = 0, ±1 ให้จำแยกไว้ สูตรทั่วไปก็ใช้ได้กับกรณีเหล่านี้ แต่ยาวเทอะทะ ส่วนรูปเขียนแบบสั้นช่วยประหยัดเวลาในห้องสอบ

ถ้า |a| > 1 สมการที่มีไซน์หรือโคไซน์จะไม่มีคำตอบ เพราะค่าของฟังก์ชันทั้งสองไม่เคยออกนอกช่วง −1 ถึง 1 ส่วนแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ไม่มีข้อจำกัดนี้ จึงมีค่าได้ทุกค่า

ใช้ฟรีไหม

ใช่ ฟรีทั้งหมดและไม่ต้องสมัครสมาชิก เครื่องมือทำงานในเบราว์เซอร์ของคุณทั้งหมด ไฟล์ไม่ถูกส่งไปยังเซิร์ฟเวอร์ เซิร์ฟเวอร์จึงไม่ใช้ทั้ง CPU และแบนด์วิดท์ — จึงไม่มีเหตุผลที่จะเก็บเงิน ไม่มีลายน้ำ ไม่มีข้อจำกัดเรื่องขนาดหรือจำนวนไฟล์