Trigonometri — adım adım açıklanan tablolar, formüller ve denklemler
Temel trigonometrik denklem
Bir fonksiyon seçin ve köklerin genel formülünü ve bunun nasıl elde edildiğine dair bir açıklamayı almak için sağ tarafa girin. Cevap bir öğretmenin beklediği şekilde yazılmıştır: n ∈ ℤ ile.
Nasıl çözüldü - adım adım
Grafikte: neden sonsuz sayıda kök var?
Turuncu çizgi y = a dalgayı çözüm noktalarında kesiyor. Sinüs ve kosinüs her 2π'de bir tekrarlanır (bu periyottur), böylece kesişimler sonsuz bir zincir oluşturur; her periyot aynı kök setini ekler. Cevaptaki “+ 2πn” veya “+ πn” buradan geliyor.
Birim çember üzerinde
Açı cos ekseninden saat yönünün tersine ölçülür. Açının kosinüsü noktanın yatay koordinatıdır, sinüs ise dikey koordinatıdır. sin x = a'nın çözümleri, yüksekliği a'ya eşit olan noktalardır (yatay çizgi) ve cos x = a, gerekli yatay koordinata sahip noktalardır (dikey çizgi). Genellikle daire üzerinde böyle iki nokta vardır; dolayısıyla devir başına iki kök vardır.
Bir açı için fonksiyon değerleri
Sin, cos, tan ve cot değerlerini elde etmek için derece (örneğin 60) veya radyan (örneğin π/3 veya pi/3) cinsinden bir açı girin. Tablo açıları için cevap kesindir, aksi takdirde 6 haneye yuvarlanır.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Ters fonksiyonlar
arcsin, arccos, arctan ve arccot, bir işlev değerinden (derece ve radyan cinsinden temel değer) açıyı döndürür. arcsin ve arccos yalnızca -1'den 1'e kadar olan değerler için tanımlanır.
Değer tablosu
Ana açılara ilişkin değerler — en sık sorulanlar. Kısa çizgi, fonksiyonun o noktada tanımsız olduğu anlamına gelir.
| Dereceler | Radyan | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Temel formüller
Kimlikler
| sin²x + cos²x = 1 | temel kimlik |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Argümanların toplamı
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Çift ve yarım açı
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Azaltma formülleri
Kural: π/2 ve 3π/2 için fonksiyon eş fonksiyonuna geçer (sin ↔ cos, tan ↔ cot); π ve 2π için aynı kalır. İşaret, orijinal açının bulunduğu çeyrek daireden alınır.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Teori: Temel denklemlerin nasıl çözüleceği
Temel bir trigonometrik denklem sin x = a, cos x = a veya tan x = a biçimindeki bir eşitliktir. Bunu çözmek, fonksiyonun a'ya eşit olduğu tüm açıları bulmak anlamına gelir. Bu tür sonsuz sayıda açı vardır: Fonksiyonlar periyodiktir, dolayısıyla cevap, n tamsayı parametresi ile genel bir formül olarak yazılır.
Sinüs periyodu 2π'dir, ancak bir periyotta kökleri π/2 civarında simetriktir, bu nedenle formül (−1)ⁿ faktörünü ve πn periyodunu içerir. Kosinüsün kökleri sıfıra yakın simetriktir; dolayısıyla ± işareti vardır. Teğetin π periyodu vardır ve en basit formüle sahiptir.
sin x = 0, ±1 ve cos x = 0, ±1 özel durumları ayrı ayrı hafızaya alınır. Genel formül onlar için de işe yarar, ancak hacimlidir ve kısa form sınav sırasında zaman kazandırır.
Eğer |a| > 1, sinüs veya kosinüs içeren bir denklemin çözümü yoktur: bu işlevler hiçbir zaman -1 ila 1 aralığını terk etmez. Teğet ve kotanjantın böyle bir kısıtlaması yoktur; herhangi bir değer alırlar.