Тригонометрія — таблиці, формули та рівняння, пояснені крок за кроком
Основне тригонометричне рівняння
Виберіть функцію та введіть праву частину, щоб отримати загальну формулу для коренів і пояснення того, як її було отримано. Відповідь записується так, як цього очікує вчитель: з n ∈ ℤ.
Як це вирішувалося — крок за кроком
На графіку: чому нескінченно багато коренів
Помаранчева лінія y = a перетинає хвилю в точках рішення. Синус і косинус повторюються кожні 2π (це період), тому перетини утворюють нескінченний ланцюжок — кожен період додає однаковий набір коренів. Ось звідки «+ 2πn» або «+ πn» у відповіді.
На одиничному колі
Кут відраховується від осі cos проти годинникової стрілки. Косинус кута — горизонтальна координата точки, синус — вертикальна. Розв’язками sin x = a є точки, висота яких дорівнює a (горизонтальна лінія), а cos x = a – точки з шуканою горизонтальною координатою (вертикальна лінія). Зазвичай на колі є дві такі точки — отже, два корені на один оберт.
Значення функції для кута
Введіть кут у градусах (наприклад, 60) або в радіанах (наприклад, π/3 або pi/3), щоб отримати sin, cos, tan і cot. Для таблиці кутів відповідь точна, інакше вона округлюється до 6 цифр.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Обернені функції
arcsin, arccos, arctan і arccot повертають кут із значення функції — головного значення в градусах і радіанах. arcsin і arccos визначені лише для значень від −1 до 1.
Таблиця значень
Значення основних кутів — тих, про які найчастіше запитують. Тире означає, що функція на даний момент не визначена.
| Ступені | Радіани | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Основні формули
Ідентичності
| sin²x + cos²x = 1 | фундаментальна ідентичність |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Сума аргументів
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Подвійний та половинний кут
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Формули скорочення
Правило: для π/2 і 3π/2 функція переходить у свою співфункцію (sin ↔ cos, tan ↔ cot); для π і 2π воно залишається незмінним. Знак береться з квадранта, в якому лежить вихідний кут.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Теорія: як розв'язувати основні рівняння
Основне тригонометричне рівняння — це рівність у вигляді sin x = a, cos x = a або tan x = a. Розв’язати це означає знайти всі кути, при яких функція дорівнює a. Таких кутів нескінченно багато: функції періодичні, тому відповідь записується у вигляді загальної формули з цілим параметром n.
Період синуса дорівнює 2π, але на періоді його корені симетричні відносно π/2, тому формула містить множник (−1)ⁿ та період πn. Корені косинуса симетричні відносно нуля — звідси знак ±. Тангенс має період π і найпростішу формулу з усіх.
Особливі випадки sin x = 0, ±1 і cos x = 0, ±1 запам'ятовуються окремо. Загальна формула також працює для них, але вона громіздка, а коротка форма економить час під час іспиту.
Якщо |a| > 1, рівняння з синусом або косинусом не має розв’язків: ці функції ніколи не виходять із діапазону від −1 до 1. Тангенс і котангенс не мають такого обмеження — вони приймають будь-які значення.