Тригонометрія — значення, спрощення та рівняння з покроковим розв’язанням
Завдання
Введіть вираз, рівняння або те, що треба спростити, — як у зошиті. Число без знака градуса вважається градусами, радіани — через π.
Як це розв’язано — по кроках
Інші функції цього кута
На графіку: чому коренів нескінченно багато
Помаранчева лінія y = a перетинає хвилю в точках-розв’язках. Синус і косинус повторюються кожні 2π (це період), тому перетини йдуть нескінченним ланцюжком — за кожен період додається той самий набір коренів. Звідси «+ 2πn» або «+ πn» у відповіді.
На одиничному колі
Кут відкладається від осі cos проти годинникової стрілки. Косинус кута — це горизонтальна координата точки, синус — вертикальна. Розв’язки sin x = a — це точки, висота яких дорівнює a (горизонтальна лінія), а cos x = a — точки з потрібною горизонтальною координатою (вертикальна лінія). Зазвичай таких точок на колі дві — звідси два корені на кожному оберті.
Кут відкладається від осі cos проти годинникової стрілки. Косинус — горизонтальна координата точки, синус — вертикальна.
Прямокутний трикутник
Введіть будь-які дві величини, серед них хоча б одну сторону, — решту буде обчислено.
sin α = a/c — відношення протилежного катета до гіпотенузи, cos α = b/c — прилеглого катета до гіпотенузи, tg α = a/b — протилежного катета до прилеглого.
Як це розв’язано — по кроках
Таблиця значень
Значення для основних кутів — про них питають найчастіше. Прочерк означає, що функція в цій точці не визначена.
| Градуси | Радіани | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Основні формули
Тотожності
| sin²x + cos²x = 1 | основна тотожність |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Додавання аргументів
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Подвійний і половинний кут
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Формули зведення
Правило: від π/2 і 3π/2 функція змінюється на «кофункцію» (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), від π і 2π — не змінюється. Знак визначають за чвертю, у якій лежить початковий кут.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Теорія: як розв’язувати найпростіші рівняння
Найпростіше тригонометричне рівняння — це рівність виду sin x = a, cos x = a, tg x = a. Розв’язати його означає знайти всі кути, для яких потрібна функція дорівнює a. Таких кутів нескінченно багато: функції періодичні, тому відповідь записують загальною формулою з цілим параметром n.
Для синуса період дорівнює 2π, але корені на відрізку розташовані симетрично відносно π/2, тому формула містить множник (−1)ⁿ і період πn. Для косинуса корені симетричні відносно нуля — звідси знак ±. У тангенса період π, і формула найпростіша.
Окремо запам’ятовують частинні випадки: sin x = 0, ±1 і cos x = 0, ±1. Загальна формула для них теж правильна, але громіздка, а короткий запис заощаджує час на іспиті.
Якщо |a| > 1, рівняння із синусом або косинусом розв’язків не має: ці функції ніколи не виходять за межі відрізка від −1 до 1. Тангенс і котангенс такого обмеження не мають — вони набувають будь-яких значень.
Це безкоштовно?
Так, цілком безкоштовно та без реєстрації. Інструмент працює повністю у вашому браузері: файл не вирушає на сервер, тому сервер не витрачає ні процесор, ні трафік — брати гроші немає за що. Водяних знаків немає, обмежень за розміром і кількістю файлів теж.