مثلثیات - میزیں، فارمولے اور مساوات قدم بہ قدم وضاحت کی گئی ہیں۔
بنیادی مثلثی مساوات
ایک فنکشن چنیں اور جڑوں کے عمومی فارمولے اور اسے کیسے حاصل کیا گیا اس کی وضاحت حاصل کرنے کے لیے دائیں جانب درج کریں۔ جواب اس طرح لکھا جاتا ہے جس طرح ایک استاد اس کی توقع کرتا ہے: n ∈ ℤ کے ساتھ۔
اسے کیسے حل کیا گیا — قدم بہ قدم
گراف پر: کیوں لاتعداد جڑیں ہیں۔
اورینج لائن y = a حل پوائنٹس پر لہر کو عبور کرتی ہے۔ سائن اور کوزائن ہر 2π (یہ مدت ہے) کو دہراتے ہیں، اس لیے چوراہا ایک لامحدود سلسلہ بناتے ہیں — ہر دور جڑوں کے ایک ہی سیٹ کو جوڑتا ہے۔ یہی وہ جگہ ہے جہاں سے جواب میں "+ 2πn" یا "+ πn" آتا ہے۔
یونٹ کے دائرے پر
زاویہ کوس محور سے گھڑی کی مخالف سمت سے ماپا جاتا ہے۔ زاویہ کا کوسائن پوائنٹ کا افقی کوآرڈینیٹ ہے، سائن عمودی ہے۔ sin x = a کے حل وہ پوائنٹس ہیں جن کی اونچائی a (افقی لائن) کے برابر ہے، اور cos x = a مطلوبہ افقی کوآرڈینیٹ (ایک عمودی لائن) کے ساتھ پوائنٹس ہیں۔ عام طور پر دائرے پر دو ایسے پوائنٹ ہوتے ہیں - اس لیے دو جڑیں فی انقلاب۔
ایک زاویہ کے لیے فنکشن کی قدریں۔
sin، cos، tan اور cot حاصل کرنے کے لیے ڈگری میں ایک زاویہ درج کریں (مثال کے طور پر 60) یا ریڈینز میں (مثال کے طور پر π/3 یا pi/3)۔ جدول کے زاویوں کے لیے جواب بالکل درست ہے، بصورت دیگر یہ 6 ہندسوں پر گول ہے۔
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
الٹا افعال
arcsin، arccos، arctan اور arccot ایک فنکشن ویلیو سے زاویہ لوٹاتے ہیں — بنیادی قدر، ڈگریوں اور ریڈینز میں۔ arcsin اور arccos کی تعریف صرف −1 سے 1 تک کی اقدار کے لیے کی گئی ہے۔
اقدار کا جدول
اہم زاویوں کے لیے قدریں — جن کے بارے میں اکثر پوچھا جاتا ہے۔ ڈیش کا مطلب ہے کہ فنکشن اس مقام پر غیر متعینہ ہے۔
| ڈگریاں | ریڈینز | sin | cos | tg | ctg |
|---|
بنیادی فارمولے۔
شناخت
| sin²x + cos²x = 1 | بنیادی شناخت |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
دلائل کا مجموعہ
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
دوہرا اور آدھا زاویہ
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
کمی کے فارمولے
اصول: π/2 اور 3π/2 کے لیے فنکشن اپنے کوفکشن (sin ↔ cos، tan ↔ cot) میں بدل جاتا ہے؛ π اور 2π کے لیے یہ ایک جیسا رہتا ہے۔ یہ نشان کواڈرینٹ سے لیا گیا ہے جس میں اصل زاویہ ہے۔
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 تھیوری: بنیادی مساوات کو کیسے حل کیا جائے۔
ایک بنیادی مثلثی مساوات شکل sin x = a، cos x = a یا tan x = a کی مساوات ہے۔ اسے حل کرنے کا مطلب ہے تمام زاویوں کو تلاش کرنا جس پر فنکشن a کے برابر ہے۔ اس طرح کے لامحدود بہت سے زاویے ہیں: افعال متواتر ہوتے ہیں، اس لیے جواب کو عددی پیرامیٹر n کے ساتھ عام فارمولے کے طور پر لکھا جاتا ہے۔
سائن کا دورانیہ 2π ہے، لیکن ایک مدت پر اس کی جڑیں π/2 کے بارے میں ہم آہنگ ہوتی ہیں، یہی وجہ ہے کہ فارمولے میں فیکٹر (−1)ⁿ اور پیریڈ πn ہوتا ہے۔ کوسائن کی جڑیں صفر کے بارے میں متوازی ہوتی ہیں - اس لیے ± کا نشان۔ ٹینجنٹ میں پیریڈ π ہے اور سب سے آسان فارمولا ہے۔
خصوصی صورتیں sin x = 0, ±1 اور cos x = 0, ±1 کو الگ الگ یاد کیا جاتا ہے۔ عام فارمولا ان کے لیے بھی کام کرتا ہے، لیکن یہ بہت بڑا ہے، اور مختصر فارم امتحان کے دوران وقت بچاتا ہے۔
اگر |a| > 1، سائن یا کوزائن کے ساتھ ایک مساوات کا کوئی حل نہیں ہے: یہ فنکشنز کبھی بھی −1 سے 1 تک کی حد نہیں چھوڑتے ہیں۔ ٹینجنٹ اور کوٹینجینٹ پر ایسی کوئی پابندی نہیں ہے — وہ کوئی قدر لیتے ہیں۔