مثلثیات — قیمتیں، تسہیل اور مساواتیں، مرحلہ وار وضاحت کے ساتھ

سوال

کوئی عبارت، مساوات یا وہ چیز جسے سادہ کرنا ہے، بالکل ویسے لکھیں جیسے کاپی میں لکھتے ہیں۔ ڈگری کے نشان کے بغیر عدد کو ڈگری سمجھا جاتا ہے؛ ریڈین کے لیے π استعمال کریں۔

فارمولہ میں داخل کریں:
آزمائیں:

یہ کیسے حل ہوا — مرحلہ وار

قائمۃ الزاویہ مثلث

کوئی بھی دو قیمتیں درج کریں، جن میں کم از کم ایک ضلع ہو — باقی خود حساب ہو جائے گا۔

sin α = a/c — مقابل ضلع (عمود) بٹا وتر، cos α = b/c — ملحقہ ضلع (قاعدہ) بٹا وتر، tan α = a/b — عمود بٹا قاعدہ۔

یہ کیسے حل ہوا — مرحلہ وار

قیمتوں کا جدول

بنیادی زاویوں کی قیمتیں — جو سب سے زیادہ پوچھی جاتی ہیں۔ ڈیش کا مطلب ہے کہ اس نقطے پر فنکشن غیر معرف ہے۔

ڈگری ریڈین sin cos tg ctg

بنیادی فارمولے

مماثلتیں

sin²x + cos²x = 1 بنیادی مماثلت
tg x = sin x / cos x ctg x = cos x / sin x
tg x · ctg x = 1 1 + tg²x = 1/cos²x

زاویوں کا مجموعہ

sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β
cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β
tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β)

دُگنا اور آدھا زاویہ

sin 2α = 2·sin α·cos α
cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
sin²α = (1 − cos 2α)/2 cos²α = (1 + cos 2α)/2

متعلقہ زاویوں کے فارمولے

اصول: π/2 اور 3π/2 کے ساتھ فنکشن بدل جاتا ہے (sin ↔ cos، tan ↔ cot)؛ π اور 2π کے ساتھ وہی رہتا ہے۔ نشان اس ربع سے لیا جاتا ہے جس میں اصل زاویہ واقع ہے۔

sin(π/2 − α) = cos α cos(π/2 − α) = sin α
sin(π − α) = sin α cos(π − α) = −cos α
sin(π + α) = −sin α cos(π + α) = −cos α
sin(2π − α) = −sin α cos(2π − α) = cos α
📚 نظریہ: بنیادی مثلثی مساواتیں کیسے حل کریں

بنیادی مثلثی مساوات sin x = a، cos x = a یا tan x = a کی شکل کی مساوات ہے۔ اسے حل کرنے کا مطلب ہے وہ تمام زاویے معلوم کرنا جن پر فنکشن a کے برابر ہو۔ ایسے زاویے لامحدود ہیں: فنکشن دوری ہیں، اس لیے جواب صحیح عدد n والے ایک عمومی فارمولے کی صورت میں لکھا جاتا ہے۔

سائن کا دور 2π ہے، لیکن ایک دور میں اس کے جذر π/2 کے لحاظ سے متشاکل ہوتے ہیں، اسی لیے فارمولے میں جزو ضربی (−1)ⁿ اور دور πn آتا ہے۔ کوسائن کے جذر صفر کے لحاظ سے متشاکل ہیں — اسی سے ± کا نشان آتا ہے۔ ٹینجنٹ کا دور π ہے اور اس کا فارمولا سب سے سادہ ہے۔

خاص صورتیں sin x = 0, ±1 اور cos x = 0, ±1 الگ سے یاد کی جاتی ہیں۔ عمومی فارمولا ان پر بھی لاگو ہوتا ہے، مگر لمبا ہے، اور مختصر شکل امتحان میں وقت بچاتی ہے۔

اگر |a| > 1 ہو تو سائن یا کوسائن والی مساوات کا کوئی حل نہیں: یہ فنکشن کبھی −1 سے 1 کی حد سے باہر نہیں جاتے۔ ٹینجنٹ اور کوٹینجنٹ پر ایسی کوئی پابندی نہیں — وہ کوئی بھی قیمت لے سکتے ہیں۔

کیا یہ مفت ہے؟

جی ہاں، بالکل مفت اور بغیر رجسٹریشن کے۔ یہ ٹول مکمل طور پر آپ کے براؤزر میں چلتا ہے: فائل کبھی سرور تک نہیں جاتی، اس لیے سرور نہ پروسیسر خرچ کرتا ہے نہ ڈیٹا — پیسے لینے کی کوئی وجہ ہی نہیں۔ کوئی واٹر مارک نہیں، فائل کے حجم یا تعداد کی کوئی حد بھی نہیں۔