Trigonometriya - bosqichma-bosqich tushuntirilgan jadvallar, formulalar va tenglamalar
Asosiy trigonometrik tenglama
Funktsiyani tanlang va ildizlarning umumiy formulasini va qanday olinganligi haqida tushuntirishni olish uchun o'ng tomonni kiriting. Javob o'qituvchi kutganidek yoziladi: n ∈ ℤ bilan.
Bu qanday hal qilindi - bosqichma-bosqich
Grafikda: nega cheksiz ko'p ildizlar mavjud
To'q sariq chiziq y = a eritma nuqtalarida to'lqinni kesib o'tadi. Sinus va kosinus har 2p da takrorlanadi (bu davr), shuning uchun kesishmalar cheksiz zanjir hosil qiladi - har bir davr bir xil ildizlar to'plamini qo'shadi. Javobdagi “+ 2pn” yoki “+ pn” shu yerdan keladi.
Birlik aylanasida
Burchak cos o'qidan soat miliga teskari yo'nalishda o'lchanadi. Burchakning kosinusi - bu nuqtaning gorizontal koordinatasi, sinus - vertikal. Sin x = a ning yechimlari balandligi a (gorizontal chiziq) ga teng nuqtalar, cos x = a esa kerakli gorizontal koordinatali nuqtalar (vertikal chiziq). Odatda aylanada ikkita bunday nuqta bor - shuning uchun har bir inqilobda ikkita ildiz.
Burchak uchun funksiya qiymatlari
Sin, cos, tan va karyolani olish uchun burchakni darajalarda (masalan, 60) yoki radianlarda (masalan, p/3 yoki pi/3) kiriting. Jadval burchaklari uchun javob aniq, aks holda u 6 ta raqamga yaxlitlanadi.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Teskari funksiyalar
arcsin, arccos, arctan va arccot funksiya qiymatidan burchakni qaytaradi - asosiy qiymat, daraja va radyanlarda. arcsin va arccos faqat -1 dan 1 gacha bo'lgan qiymatlar uchun aniqlanadi.
Qiymatlar jadvali
Asosiy burchaklar uchun qiymatlar - ko'pincha so'raladiganlar. Chiziq bu nuqtada funksiya aniqlanmaganligini bildiradi.
| Darajalar | Radianlar | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Asosiy formulalar
Identifikatsiyalar
| sin²x + cos²x = 1 | asosiy o'ziga xoslik |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Argumentlar yig'indisi
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Ikki va yarim burchak
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Qisqartirish formulalari
Qoida: p/2 va 3p/2 uchun funksiya o'zining kofunktsiyasiga o'tadi (sin ↔ cos, tan ↔ karyolasi); p va 2p uchun u bir xil bo'lib qoladi. Belgisi asl burchak joylashgan kvadrantdan olingan.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Nazariya: asosiy tenglamalarni yechish usullari
Asosiy trigonometrik tenglama sin x = a, cos x = a yoki tan x = a ko'rinishdagi tenglikdir. Uni yechish funksiya a ga teng bo‘lgan barcha burchaklarni topishni bildiradi. Bunday burchaklar cheksiz ko'p: funktsiyalar davriydir, shuning uchun javob n butun parametrli umumiy formula sifatida yoziladi.
Sinus davri 2p ga teng, lekin bir davrda uning ildizlari p/2 ga yaqin simmetrikdir, shuning uchun formulada (−1)ⁿ omil va pn davri mavjud. Kosinusning ildizlari nolga yaqin simmetrikdir - shuning uchun ± belgisi. Tangens p davriga va eng oddiy formulaga ega.
Maxsus holatlar sin x = 0, ±1 va cos x = 0, ±1 alohida yodlanadi. Umumiy formula ular uchun ham ishlaydi, lekin u katta hajmli va qisqa shakl imtihon vaqtida vaqtni tejaydi.
Agar |a| > 1 bo'lsa, sinus yoki kosinusli tenglamaning yechimi yo'q: bu funksiyalar hech qachon -1 dan 1 gacha bo'lgan diapazonni tark etmaydi. Tangens va kotangensda bunday cheklov yo'q - ular har qanday qiymatni oladi.