Lượng giác — tính giá trị, rút gọn biểu thức và giải phương trình có lời giải từng bước
Đề bài
Nhập biểu thức cần tính, phương trình hoặc biểu thức cần rút gọn, giống như bạn viết trong vở. Số không có dấu độ được hiểu là độ; muốn dùng radian thì viết qua π.
Cách giải — từng bước
Các giá trị lượng giác còn lại của góc này
Trên đồ thị: vì sao có vô số nghiệm
Đường thẳng màu cam y = a cắt sóng tại các điểm nghiệm. Sin và côsin lặp lại sau mỗi 2π (đó là chu kỳ), nên các giao điểm tạo thành một chuỗi vô tận — mỗi chu kỳ lại thêm đúng bộ nghiệm đó. Đó là lý do đáp số có “+ 2πn” hoặc “+ πn”.
Trên đường tròn lượng giác
Góc được đo từ trục cos, ngược chiều kim đồng hồ. Côsin của góc là hoành độ của điểm, còn sin là tung độ. Nghiệm của sin x = a là các điểm có tung độ bằng a (một đường nằm ngang), còn nghiệm của cos x = a là các điểm có hoành độ cần tìm (một đường thẳng đứng). Thường có hai điểm như vậy trên đường tròn — vì thế mỗi vòng có hai nghiệm.
Góc được đo từ trục cos, ngược chiều kim đồng hồ. Côsin là hoành độ của điểm, còn sin là tung độ.
Tam giác vuông
Nhập hai đại lượng bất kỳ, trong đó có ít nhất một cạnh, các đại lượng còn lại sẽ được tính.
sin α = a/c — cạnh đối chia cạnh huyền, cos α = b/c — cạnh kề chia cạnh huyền, tan α = a/b — cạnh đối chia cạnh kề.
Cách giải — từng bước
Bảng giá trị
Giá trị tại các góc đặc biệt — những góc hay gặp nhất. Dấu gạch ngang nghĩa là hàm số không xác định tại điểm đó.
| Độ | Radian | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Công thức cơ bản
Hệ thức lượng giác
| sin²x + cos²x = 1 | hệ thức cơ bản |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Công thức cộng
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Góc nhân đôi và góc chia đôi
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
Công thức cung liên kết
Quy tắc: với π/2 và 3π/2 thì đổi tên hàm (sin ↔ cos, tan ↔ cot); với π và 2π thì giữ nguyên tên hàm. Dấu lấy theo góc phần tư chứa góc ban đầu.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Lý thuyết: cách giải phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình lượng giác cơ bản là đẳng thức dạng sin x = a, cos x = a hoặc tan x = a. Giải phương trình nghĩa là tìm tất cả các góc mà tại đó hàm số bằng a. Có vô số góc như vậy: các hàm số tuần hoàn, nên đáp số được viết bằng công thức tổng quát với tham số nguyên n.
Sin có chu kỳ 2π, nhưng trong một chu kỳ các nghiệm của nó đối xứng qua π/2, vì thế công thức có thừa số (−1)ⁿ và chu kỳ πn. Các nghiệm của côsin đối xứng qua 0 — từ đó có dấu ±. Tang có chu kỳ π và công thức đơn giản nhất.
Các trường hợp đặc biệt sin x = 0, ±1 và cos x = 0, ±1 được ghi nhớ riêng. Công thức tổng quát vẫn đúng cho chúng nhưng cồng kềnh, còn cách viết gọn giúp tiết kiệm thời gian khi thi.
Nếu |a| > 1, phương trình với sin hoặc côsin vô nghiệm: hai hàm số này không bao giờ vượt ra ngoài khoảng từ −1 đến 1. Tang và côtang không có giới hạn như vậy — chúng nhận mọi giá trị.
Công cụ này miễn phí chứ?
Vâng, hoàn toàn miễn phí và không cần đăng ký. Công cụ chạy hoàn toàn trong trình duyệt của bạn: tệp không bao giờ được gửi lên máy chủ, nên máy chủ không tốn CPU cũng chẳng tốn băng thông — chẳng có gì để thu tiền. Không có hình mờ, không giới hạn kích thước hay số lượng tệp.