Lượng giác - bảng, công thức và phương trình được giải thích từng bước
Phương trình lượng giác cơ bản
Chọn một hàm số và nhập vào phía bên phải để có được công thức tổng quát của nghiệm và phần giải thích cách thu được hàm số đó. Câu trả lời được viết theo cách giáo viên mong đợi: với n ∈ ℤ.
Cách giải quyết - từng bước
Trên đồ thị: tại sao có vô số nghiệm
Đường màu cam y = a cắt sóng tại các điểm nghiệm. Sin và cosin lặp lại sau mỗi 2π (đây là chu kỳ), do đó các giao điểm tạo thành một chuỗi vô hạn - mỗi chu kỳ thêm cùng một bộ nghiệm. Đó là nguồn gốc của “+ 2πn” hoặc “+ πn” trong câu trả lời.
Trên vòng tròn đơn vị
Góc được đo từ trục cos ngược chiều kim đồng hồ. Cosin của góc là tọa độ ngang của điểm, sin là tọa độ dọc. Nghiệm của sin x = a là những điểm có chiều cao bằng a (đường nằm ngang) và cos x = a là những điểm có tọa độ ngang cần thiết (đường thẳng đứng). Thông thường có hai điểm như vậy trên đường tròn - do đó có hai nghiệm trên một vòng.
Giá trị hàm cho một góc
Nhập một góc theo độ (ví dụ 60) hoặc theo radian (ví dụ π/3 hoặc pi/3) để nhận được sin, cos, tan và cot. Đối với các góc của bảng, câu trả lời là chính xác, nếu không thì sẽ làm tròn thành 6 chữ số.
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
Hàm nghịch đảo
arcsin, arccos, arctan và arccot trả về góc từ một giá trị hàm — giá trị chính, tính bằng độ và radian. arcsin và arccos chỉ được xác định cho các giá trị từ −1 đến 1.
Bảng giá trị
Giá trị cho các góc chính - những góc được hỏi thường xuyên nhất. Dấu gạch ngang có nghĩa là hàm chưa được xác định tại thời điểm đó.
| Độ | radian | sin | cos | tg | ctg |
|---|
Công thức cốt lõi
Danh tính
| sin²x + cos²x = 1 | bản sắc cơ bản |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
Tổng các đối số
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
Góc đôi và nửa
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
công thức khử
Quy tắc: đối với π/2 và 3π/2 hàm số chuyển sang đồng hàm của nó (sin ↔ cos, tan ↔ cot); đối với π và 2π nó vẫn giữ nguyên. Dấu hiệu được lấy từ góc phần tư mà góc ban đầu nằm trong đó.
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 Lý thuyết: cách giải phương trình cơ bản
Phương trình lượng giác cơ bản là một đẳng thức có dạng sin x = a, cos x = a hoặc tan x = a. Giải nó có nghĩa là tìm tất cả góc tại đó hàm số bằng a. Có vô số góc như vậy: các hàm số tuần hoàn nên đáp án được viết dưới dạng công thức tổng quát với tham số nguyên n.
Chu kỳ của sin là 2π, nhưng trong một chu kỳ, nghiệm của nó đối xứng quanh π/2, đó là lý do tại sao công thức chứa hệ số (−1)ⁿ và chu kỳ πn. Các nghiệm của cosin đối xứng quanh 0 - do đó có dấu ±. Tiếp tuyến có chu kỳ π và công thức đơn giản nhất.
Các trường hợp đặc biệt sin x = 0, ±1 và cos x = 0, ±1 được ghi nhớ riêng. Công thức chung cũng phù hợp với họ, nhưng nó cồng kềnh và dạng ngắn giúp tiết kiệm thời gian trong kỳ thi.
Nếu |a| > 1, phương trình có sin hoặc cosin không có nghiệm: các hàm này không bao giờ rời khỏi phạm vi từ −1 đến 1. Tiếp tuyến và cotang không có hạn chế như vậy — chúng nhận bất kỳ giá trị nào.