导数与积分——我们计算并解释它们的含义
函数 f(x)
导数
导数 f′(x) 表示 f(x) 在每一点变化的快慢：它是函数的「增长速度」。如果 f(x) 是走过的路程，那么 f′(x) 就是车速表上的速度。
f″(x) 是二阶导数：速度本身变化的快慢（在汽车的例子里就是加速度）。
数值 f′(x₀) 是切线的斜率——切线就是在 x₀ 处紧贴图像的直线。斜率为正——函数上升；为负——下降；为零——山顶或谷底。
定积分
从 a 到 b 的积分 ∫ f(x) 是图像与 X 轴之间的面积。如果 f(x) 是速度，那么积分就是走过的全部路程。位于 X 轴下方的部分按负号计算。
📚 理论：什么是导数
导数是微积分的核心概念。形式上它是增量之比的极限：当 h → 0 时 f′(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h。听起来吓人，其实含义很简单：看函数在一小步内变化了多少，除以这一步的长度——就得到变化率。
例子：f(x) = x²。在 x = 3 处导数 f′(3) = 6。意思是：在 x = 3 附近，函数以「每 1 个单位 x 增长 6 个单位 y」的速度增长。在我们的绘图器里画出 x²——你会看到抛物线在那里确实爬升得很陡。
求导只是寻找导数的过程。它遵循规则：和的导数等于导数之和；乘积用乘积法则 (u·v)′ = u′·v + u·v′；复合函数用链式法则：先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
在导数为零的地方，函数会「停顿」一瞬——那里正是图像的峰和谷（极值点）。因此导数能帮助寻找最大值和最小值——从球的轨迹到公司的利润。
📚 理论：什么是积分
定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx 是在从 a 到 b 的区间上，f(x) 的图像与 X 轴之间图形的面积。想象把图形切成数千条窄窄的竖直条带：每条的面积 ≈ f(x)·(条带宽度)，而积分就是切分无限细时所有条带之和。
日常含义：如果 f(t) 是你在时刻 t 的速度，那么速度对时间的积分就是走过的全部路程。里程表正是这样对车速表「积分」的。
积分与求导是互逆运算（这正是牛顿-莱布尼茨公式，微积分基本定理）：对导数积分会还原出原函数。对 x² 求导得到 2x——而 2x 从 0 到 3 的积分又给出 9 = 3²。
我们的计算器用数值方法求积分：把区间分成小段并仔细求和（辛普森法）。因此即使函数没有「漂亮」的原函数，它也能应付。