三角学 — 表格、公式和方程逐步解释
基本三角方程
选择一个函数并输入右侧以获取根的一般公式以及如何获得它的解释。答案按照老师期望的方式写出来：n ∈ ℤ。
如何解决的——一步一步
上图：为什么有无穷多个根
橙色线 y = a 在解点处与波相交。正弦和余弦每 2π（这是周期）重复一次，因此交点形成无限链 — 每个周期都会添加相同的根集。这就是答案中“+ 2πn”或“+ πn”的来源。
在单位圆上
该角度是从 cos 轴逆时针测量的。角度的余弦是该点的水平坐标，正弦是垂直坐标。 sin x = a 的解是高度等于a（水平线）的点，cos x = a 的解是具有所需水平坐标（垂直线）的点。通常，圆上有两个这样的点，因此每转有两个根。
角度的函数值
输入以度为单位（例如 60）或以弧度为单位（例如 π/3 或 pi/3）的角度可得到 sin、cos、tan 和 cot。对于工作台角度，答案是准确的，否则四舍五入为 6 位数字。
| sin | |
| cos | |
| tg | |
| ctg |
反函数
arcsin、arccos、arctan 和 arccot 返回函数值（主值，以度和弧度表示）的角度。 arcsin 和 arccos 仅针对从 -1 到 1 的值定义。
数值表
主要角度的值——最常被问到的角度。破折号表示该函数此时未定义。
| 度数 | 弧度 | sin | cos | tg | ctg |
|---|
核心公式
身份
| sin²x + cos²x = 1 | 基本同一性 |
| tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| tg x · ctg x = 1 | 1 + tg²x = 1/cos²x |
参数总和
| sin(α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β |
| cos(α ± β) = cos α·cos β ∓ sin α·sin β |
| tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α·tg β) |
双角和半角
| sin 2α = 2·sin α·cos α | |
| cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 | |
| sin²α = (1 − cos 2α)/2 | cos²α = (1 + cos 2α)/2 |
减少公式
规则：对于 π/2 和 3π/2，函数切换到其余函数 (sin ↔ cos, tan ↔ cot)；对于 π 和 2π 它保持不变。该符号取自原始角度所在的象限。
| sin(π/2 − α) = cos α | cos(π/2 − α) = sin α |
| sin(π − α) = sin α | cos(π − α) = −cos α |
| sin(π + α) = −sin α | cos(π + α) = −cos α |
| sin(2π − α) = −sin α | cos(2π − α) = cos α |
📚 理论：如何解基本方程
基本三角方程是 sin x = a、cos x = a 或 tan x = a 形式的等式。解决这个问题意味着找到函数等于 a 的所有角度。这样的角度有无限多个：函数是周期性的，因此答案被写成带有整数参数 n 的通式。
正弦的周期为 2π，但在周期上它的根关于 π/2 对称，这就是为什么公式包含因子 (−1)ⁿ 和周期 πn。余弦的根关于零对称——因此有±符号。正切有周期 π 和最简单的公式。
特殊情况sin x = 0、±1 和cos x = 0、±1 分别记忆。通用公式也适用于他们，但它很庞大，而且简短的形式可以节省考试时间。
如果|a| > 1，具有正弦或余弦的方程没有解：这些函数永远不会离开 -1 到 1 的范围。正切和余切没有这样的限制 - 它们可以取任何值。