المشتق العكسي — مع تفاصيل تفصيلية لكل خطوة ورسم بياني
الدالة و(خ)
مشتق مضاد
المشتق العكسي F(x) هو دالة مشتقتها تعيد الأصل: F'(x) = f(x). يمكن إضافة أي ثابت C إلى المشتق العكسي، ولهذا السبب يتم كتابته دائمًا.
كيف تم حسابه – خطوة بخطوة
تحدد كل خطوة التقنية المستخدمة وتظهر البديل، بحيث يمكن نسخ الحل إلى دفتر ملاحظاتك.
رسم بياني للدالة ومشتقاتها العكسية
المنحنى الأزرق هو الدالة f(x)، والبرتقالي هو المشتق العكسي F(x). تحقق من الرابط: حيث تكون f(x) موجبة فإن المشتق العكسي يزيد؛ حيث f(x) سالبة فإنه يتناقص؛ حيث f(x) = 0 للمشتق العكسي قمة أو وادي. هذه هي بالضبط العلاقة العكسية مقارنة بالمشتقة.
جدول المشتقات المضادة
الصيغ الأساسية. C هو ثابت تعسفي. من السهل التحقق من أي صف: قم بتمييز العمود الأيمن وستحصل على العمود الأيسر.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
التكامل المحدد — المنطقة تحت الرسم البياني → · العملية العكسية — المشتق →
📚 النظرية: تقنيات التكامل
التكامل هو العملية العكسية للتمايز. للعثور على مشتق عكسي F لـ f يعني اختيار دالة مشتقتها تساوي f. الشيك هو نفسه دائمًا: التمييز بين الإجابة.
الخطية: تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات، ويتم أخذ العامل الثابت خارجًا. الاستبدال الخطي: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — عندما يكون التعبير الخطي تحت التكامل بدلاً من x.
التكامل بالأجزاء: ∫u dv = u·v − ∫v du. ويتم تطبيقه على منتجات مثل x·eˣ أو x·sin x. لا يمكن التعبير عن كل تكامل من خلال دوال أولية، على سبيل المثال، ∫e^(−x²) dx ليس له صيغة مغلقة، وهذا أمر طبيعي.