مشتق - مع تفاصيل تفصيلية لكل خطوة ورسم بياني

المنحنى الأزرق هو الدالة f(x)، والبرتقالي هو المشتقة f'(x). خلفية خضراء: f'(x) > 0 والدالة آخذة في الازدياد. خلفية حمراء: f′(x) <0 والدالة آخذة في التناقص. يتم تحديد النقاط التي يساوي فيها المشتق صفرًا على الرسم البياني - وهذه هي النقاط القصوى (القمم والوديان).

معنى هندسي

المشتق f'(x₀) هو ميل خط المماس للرسم البياني عند النقطة x₀، أي ظل زاوية ميله. المشتق الكبير يعني ارتفاعًا حادًا، والمشتق السالب يعني الهبوط، والصفر يعني أن المماس أفقي (قمة أو وادي). وهذا هو بالضبط السبب الذي يجعل علامة المشتقة تخبرك ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

المعنى الجسدي

إذا كانت الدالة تصف موضع الجسم كدالة للوقت s(t)، فإن المشتق s'(t) هو السرعة اللحظية، والمشتق الثاني s″(t) هو التسارع. بشكل عام، المشتق هو معدل تغير الكمية: مدى سرعة تغير y مع تغير x. وهذا هو المعنى الأصلي الذي قدم له نيوتن المشتق.

معنى جبري

رسميًا، المشتق هو الحد الأقصى لنسبة الزيادات: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h as h → 0. نتخذ خطوة صغيرة h، ونرى مدى تغير الدالة، ونقسمها على طول الخطوة. وعندما تقترب الخطوة من الصفر، تقترب النسبة من معدل التغير الدقيق عند النقطة.

المشتقة والأقصى

عند النقاط القصوى والدنيا يكون المماس أفقيًا، وبالتالي فإن المشتق هناك يساوي صفرًا. هذه هي التقنية الأساسية للعثور على القيم الأكبر والأصغر: اضبط المشتقة على الصفر وابحث عن الجذور. إذا، عند المرور عبر هذه النقطة، تتغير إشارة المشتقة من "+" إلى "-"، فهي قيمة عظمى؛ من "-" إلى "+"، كحد أدنى.

الصيغ الأساسية - نفس تلك المستخدمة في التفصيل أعلاه. C ثابت، a > 0.

العملية العكسية – المشتقات العكسية والتكاملات →