Törəmə — hər addımın təfərrüatlı bölgüsü və qrafiki ilə
f(x) funksiyası
törəmə
Necə hesablanıb - addım-addım
Hər bir addım tətbiq edilən qaydanın adlarını verir və nəyin əvəz olunduğunu göstərir, beləliklə həlli dəftərinizə köçürmək olar.
Funksiyanın qrafiki və onun törəməsi
Mavi əyri f(x) funksiyasıdır, narıncı isə f′(x) törəməsidir. Yaşıl fon: f′(x) > 0 və funksiya artır. Qırmızı fon: f′(x) < 0 və funksiya azalır. Törəmənin sıfıra bərabər olduğu nöqtələr qrafikdə qeyd olunur - bunlar ekstremaldır (zirvələr və dərələr).
Törəmə nədir - üç məna
Həndəsi məna
f′(x₀) törəməsi x₀ nöqtəsində qrafikə tangens xəttinin yamacıdır, yəni onun meyl bucağının tangensidir. Böyük törəmə dik yüksəliş, mənfi enmə, sıfır tangensin üfüqi (zirvə və ya vadi) olduğunu bildirir. Məhz buna görə törəmənin işarəsi sizə funksiyanın artdığını və ya azaldığını bildirir.
Fiziki məna
Əgər funksiya s(t) zamanın funksiyası kimi cismin mövqeyini təsvir edirsə, onda s′(t) törəməsi ani sürətdir, ikinci törəmə s″(t) isə sürətlənmədir. Ümumiyyətlə törəmə kəmiyyətin dəyişmə sürətidir: x dəyişdikcə y nə qədər sürətlə dəyişir. Bu, Nyutonun törəməni təqdim etdiyi orijinal mənadır.
Cəbri məna
Formal olaraq törəmə artımlar nisbətinin həddidir: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h kimi h → 0. Biz h → 0 kimi kiçik bir addım atırıq, funksiyanın nə qədər dəyişdiyini görürük və addımın uzunluğuna bölürük. Addım sıfıra yaxınlaşdıqca nisbət nöqtədəki dəqiq dəyişmə sürətinə yaxınlaşır.
Törəmə və ekstremal
Maksimum və minimum nöqtələrdə tangens üfüqidir, ona görə də orada törəmə sıfıra bərabərdir. Bu, ən böyük və ən kiçik dəyərləri tapmaq üçün əsas texnikadır: törəməni sıfıra qoyun və kökləri tapın. Əgər belə bir nöqtədən keçərkən törəmə işarəni “+”dan “-”-yə dəyişirsə, bu, maksimumdur; minimum “-”-dən “+”a qədər.
Törəmələr cədvəli
Əsas düsturlar — yuxarıdakı bölgüdə istifadə edilənlər. C sabitdir, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Fərqləndirmə qaydaları
cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir: (u + v)′ = u′ + v′. Sabit amil kənarda götürülür: (Cu)′ = Cu′.
Məhsul qaydası: (u·v)' = u'v + uv'. Bölmə qaydası: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Kompozit funksiya üçün zəncir qaydası: əvvəlcə xarici funksiyanı fərqləndirin, sonra daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpın. Məsələn, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.