Вытворная — з падрабязнай разбіўкай кожнага кроку і графікам
Функцыя f(x)
Вытворная
Як разлічвалі — крок за крокам
Кожны крок называе правіла, якое было прыменена, і паказвае, што было заменена, таму рашэнне можна скапіяваць у свой сшытак.
Графік функцыі і яе вытворнай
Сіняя крывая — функцыя f(x), аранжавая — вытворная f′(x). Зялёны фон: f′(x) > 0 і функцыя расце. Чырвоны фон: f′(x) < 0 і функцыя спадальная. На графіку адзначаны пункты, у якіх вытворная роўная нулю — гэта экстрэмумы (вяршыні і спады).
Што такое вытворнае — тры значэнні
Геаметрычны сэнс
Вытворная f′(x₀) - гэта нахіл датычнай лініі да графіка ў пункце x₀, гэта значыць тангенс яе вугла нахілу. Вялікая вытворная азначае круты ўздым, адмоўная - спуск, нуль - гарызантальная датычная (вяршыня або даліна). Менавіта таму знак вытворнай паказвае, расце ці спадае функцыя.
Фізічны сэнс
Калі функцыя апісвае становішча цела як функцыю часу s(t), то вытворная s′(t) з'яўляецца імгненнай хуткасцю, а другая вытворная s″(t) з'яўляецца паскарэннем. Увогуле, вытворная - гэта хуткасць змены велічыні: наколькі хутка змяняецца y пры змене x. Гэта першапачатковае значэнне, для якога Ньютан увёў вытворную.
Алгебраічны сэнс
Фармальна вытворная з'яўляецца мяжай адносіны прырашчэнняў: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h пры h → 0. Мы робім невялікі крок h, глядзім, наколькі змянілася функцыя, і дзелім на даўжыню кроку. Калі крок набліжаецца да нуля, стаўленне набліжаецца да дакладнай хуткасці змены ў кропцы.
Вытворная і экстрэмумы
У кропках максімуму і мінімуму датычная гарызантальная, таму вытворная роўная нулю. Гэта асноўная методыка знаходжання найбольшага і найменшага значэнняў: паставіць вытворную ў нуль і знайсці карані. Калі пры праходзе праз такі пункт вытворная мяняе знак з «+» на «−», то гэта максімум; ад «-» да «+», мінімум.
Табліца вытворных
Асноўныя формулы - тыя ж, што выкарыстоўваліся ў разбіўцы вышэй. C — канстанта, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Правілы дыферэнцыяцыі
Вытворная сумы роўная суме вытворных: (u + v)′ = u′ + v′. Пастаянны множнік вынесены звонку: (C·u)′ = C·u′.
Правіла здабытку: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Правіла каэфіцыента: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Правіла ланцужка для састаўной функцыі: спачатку дыферэнцуем знешнюю функцыю, потым памнажаем на вытворную ўнутранай. Напрыклад, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.