Першаісная — з падрабязнай разбіўкай кожнага кроку і графікам
Функцыя f(x)
Антывытворная
Першатворная F(x) — гэта функцыя, вытворная якой вяртае зыходную: F′(x) = f(x). Любую канстанту C можна дадаць да першавытворнай, таму яна заўсёды пішацца.
Як разлічвалі — крок за крокам
Кожны крок называе выкарыстоўваную тэхніку і паказвае замену, таму рашэнне можна скапіяваць у свой сшытак.
Графік функцыі і яе першатворная
Сіняя крывая — функцыя f(x), аранжавая — першавытворная F(x). Праверце спасылку: дзе f(x) дадатная, першатворная павялічваецца; дзе f(x) адмоўны, ён памяншаецца; дзе f(x) = 0 першатворная мае пік або спад. Гэта дакладна зваротная залежнасць у параўнанні з вытворнай.
Табліца першавытворных
Асноўныя формулы. C - адвольная канстанта. Любы радок лёгка праверыць: вылучыце правы слупок і атрымаеце левы.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Пэўны інтэграл — плошча пад графікам → · Адваротная аперацыя — вытворная →
📚 Тэорыя: метады інтэграцыі
Інтэграванне - гэта аперацыя, адваротная да дыферэнцыявання. Знайсці першатворную F для f азначае выбраць функцыю, вытворная якой роўная f. Праверка заўсёды аднолькавая: дыферэнцыраваны адказ.
Лінейнасць: інтэграл ад сумы роўны суме інтэгралаў, пастаянны множнік выносіцца па-за межамі. Лінейная падстаноўка: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — калі лінейны выраз стаіць пад інтэгралам замест x.
Інтэграванне часткамі: ∫u dv = u·v − ∫v du. Ён прымяняецца да такіх прадуктаў, як x·eˣ або x·sin x. Не кожны інтэграл можа быць выражаны праз элементарныя функцыі — напрыклад, ∫e^(−x²) dx не мае замкнёнай формулы, і гэта нармальна.