Пэўны інтэграл — плошча пад графікам з формулай Ньютана–Лейбніца
Функцыя f(x)
Значэнне інтэграла
Пэўны інтэграл ∫ f(x) dx ад a да b - гэта плошча паміж графікам і воссю X на інтэрвале [a; б]. Часткі ніжэй восі адлічваюцца са знакам мінус.
Формула Ньютана–Лейбніца
Асноўная формула інтэгральнага вылічэння звязвае пэўны інтэграл з першатворнай: ∫ f(x) dx ад a да b = F(b) − F(a), дзе F любая першатворная f. Такім чынам, плошчу можна знайсці без сум і межаў: проста вазьміце першавытворную і падстаўце межы.
📚 Тэорыя: што такое інтэграл
Пэўны інтэграл ∫ₐᵇ f(x) dx - гэта плошча фігуры паміж графікам f(x) і воссю X на інтэрвале ад a да b. Уявіце сабе фігуру, разрэзаную на тысячы вузкіх вертыкальных палосак: плошча кожнай ≈ f(x)·(шырыня), а інтэграл - гэта сума ўсіх палосак, калі нарэзка становіцца бясконца тонкай.
Фізічны сэнс: калі f(x) - гэта хуткасць, інтэграл - гэта агульная пройдзеная адлегласць; калі f(x) - гэта магутнасць, інтэграл - гэта энергія. Інтэграл назапашвае велічыню, хуткасць якой задаецца інтэгральнай функцыяй.
Знак плошчы: часткі графіка ніжэй восі Х уносяць адмоўны ўклад. Вось чаму, напрыклад, ∫ sin x dx за поўны перыяд роўны нулю: плошча ўверсе адмяняе плошчу ўнізе.