Производно — с подробна разбивка на всяка стъпка и графика
Функция f(x)
Производна
Как се изчислява - стъпка по стъпка
Всяка стъпка назовава приложеното правило и показва какво е заменено, така че решението да може да се копира във вашия бележник.
Графика на функцията и нейната производна
Синята крива е функцията f(x), оранжевата е производната f′(x). Зелен фон: f′(x) > 0 и функцията нараства. Червен фон: f′(x) < 0 и функцията е намаляваща. Точките, в които производната е равна на нула, са отбелязани на графиката — това са екстремумите (върхове и спадове).
Какво е производна — три значения
Геометрично значение
Производната f′(x₀) е наклонът на допирателната към графиката в точката x₀, т.е. тангенса на нейния ъгъл на наклон. Голяма производна означава стръмно изкачване, отрицателна означава спускане, нула означава, че тангентата е хоризонтална (връх или долина). Точно затова знакът на производната ви казва дали функцията нараства или намалява.
Физически смисъл
Ако функция описва позицията на тяло като функция на времето s(t), тогава производната s′(t) е моментната скорост, а втората производна s″(t) е ускорението. Най-общо производната е скоростта на промяна на дадено количество: колко бързо се променя y при промяна на x. Това е първоначалното значение, за което Нютон въвежда производната.
Алгебричен смисъл
Формално производната е лимитът на съотношението на нарастванията: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h при h → 0. Правим малка стъпка h, виждаме колко се е променила функцията и разделяме на дължината на стъпката. Когато стъпката се доближава до нула, съотношението се доближава до точната скорост на промяна в точката.
Производна и екстремуми
В максималните и минималните точки тангентата е хоризонтална, така че производната там е равна на нула. Това е основната техника за намиране на най-голямата и най-малката стойност: задайте производната на нула и намерете корените. Ако при преминаване през такава точка производната смени знака от “+” на “−”, това е максимум; от “-” до “+”, минимум.
Таблица на производните
Основните формули — същите, използвани в разбивката по-горе. C е константа, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Правила за диференциране
Производната на сбор е равна на сбора на производните: (u + v)′ = u′ + v′. Отвън се взема постоянен фактор: (C·u)′ = C·u′.
Правило за продукта: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Правило за коефициента: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Правилото на веригата за съставна функция: първо диференцирайте външната функция, след това умножете по производната на вътрешната. Например (sin 2x)′ = cos(2x)·2.