Antiderivative — с подробна разбивка на всяка стъпка и графика
Функция f(x)
Антипроизводно
Антипроизводната F(x) е функция, чиято производна връща оригинала: F′(x) = f(x). Всяка константа C може да бъде добавена към първоизводна, поради което винаги се записва.
Как се изчислява - стъпка по стъпка
Всяка стъпка назовава използваната техника и показва заместването, така че решението може да се копира във вашия бележник.
Графика на функцията и нейната първоизводна
Синята крива е функцията f(x), оранжевата е първоизводната F(x). Проверете връзката: където f(x) е положителен, антипроизводното се увеличава; където f(x) е отрицателна, тя намалява; където f(x) = 0 антипроизводното има връх или падина. Това е точно обратната връзка в сравнение с производната.
Таблица на антипроизводните
Основните формули. C е произволна константа. Всеки ред е лесен за проверка: разграничете дясната колона и ще получите лявата.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Определен интеграл — площта под графиката → · Обратната операция — производната →
📚 Теория: интеграционни техники
Интегрирането е операцията, обратна на диференцирането. Да се намери антипроизводна F за f означава да се избере функция, чиято производна е равна на f. Проверката винаги е една и съща: разграничете отговора.
Линейност: интегралът на сбора е равен на сбора на интегралите, постоянният фактор се изважда извън него. Линейно заместване: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — когато линеен израз стои под интеграла вместо x.
Интегриране по части: ∫u dv = u·v − ∫v du. Прилага се към продукти като x·eˣ или x·sin x. Не всеки интеграл може да бъде изразен чрез елементарни функции — например ∫e^(−x²) dx няма затворена формула и това е нормално.