ডেরিভেটিভ — প্রতিটি ধাপের বিশদ ভাঙ্গন এবং একটি গ্রাফ সহ
ফাংশন f(x)
ডেরিভেটিভ
এটি কীভাবে গণনা করা হয়েছিল — ধাপে ধাপে
প্রতিটি ধাপে যে নিয়মটি প্রয়োগ করা হয়েছিল তার নাম দেয় এবং কী প্রতিস্থাপিত হয়েছিল তা দেখায়, তাই সমাধানটি আপনার নোটবুকে অনুলিপি করা যেতে পারে।
ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভের গ্রাফ
নীল বক্ররেখা হল f(x) ফাংশন, কমলা হল ডেরিভেটিভ f′(x)। সবুজ পটভূমি: f′(x) > 0 এবং ফাংশন বাড়ছে। লাল পটভূমি: f′(x) < 0 এবং ফাংশন কমছে। যে বিন্দুতে ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান তা গ্রাফে চিহ্নিত করা হয়েছে—এগুলো হল চরমে (চূড়া এবং উপত্যকা)।
ডেরিভেটিভ কী—তিনটি অর্থ
জ্যামিতিক অর্থ
ডেরিভেটিভ f′(x₀) হল স্পর্শ রেখার ঢাল x₀ বিন্দুতে গ্রাফে, অর্থাৎ, এর প্রবণতার কোণের স্পর্শক। একটি বড় ডেরিভেটিভ মানে খাড়া উত্থান, একটি নেতিবাচক মানে একটি অবতরণ, শূন্য মানে স্পর্শক অনুভূমিক (একটি শিখর বা উপত্যকা)। ঠিক এই কারণেই ডেরিভেটিভের চিহ্ন আপনাকে বলে যে ফাংশনটি বাড়ছে নাকি কমছে।
শারীরিক অর্থ
যদি একটি ফাংশন সময় s(t) এর একটি ফাংশন হিসাবে একটি শরীরের অবস্থান বর্ণনা করে, তাহলে ডেরিভেটিভ s′(t) হল তাত্ক্ষণিক বেগ, এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ s″(t) হল ত্বরণ। সাধারণভাবে ডেরিভেটিভ হল একটি পরিমাণের পরিবর্তনের হার: x পরিবর্তনের সাথে সাথে y কত দ্রুত পরিবর্তিত হয়। এটি সেই মূল অর্থ যার জন্য নিউটন ডেরিভেটিভ প্রবর্তন করেছিলেন।
বীজগণিত অর্থ
আনুষ্ঠানিকভাবে ডেরিভেটিভ হল বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h হিসাবে h → 0। আমরা একটি ছোট ধাপ h নিই, দেখি ফাংশন কতটা পরিবর্তিত হয়েছে, এবং ধাপের দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করি। ধাপটি শূন্যের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে অনুপাতটি বিন্দুতে পরিবর্তনের সঠিক হারের কাছে পৌঁছায়।
ডেরিভেটিভ এবং চরম
সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন বিন্দুতে স্পর্শকটি অনুভূমিক, তাই সেখানে ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান। এটি সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মান খোঁজার প্রধান কৌশল: ডেরিভেটিভকে শূন্যে সেট করুন এবং শিকড়গুলি খুঁজুন। যদি, এই ধরনের একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়, ডেরিভেটিভ পরিবর্তনের চিহ্ন “+” থেকে “−” হয়, তবে এটি সর্বাধিক; “−” থেকে “+”, সর্বনিম্ন।
ডেরিভেটিভের সারণী
মূল সূত্র — উপরের ব্রেকডাউনে ব্যবহৃত একইগুলি। C একটি ধ্রুবক, a > 0।
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 পার্থক্যের নিয়ম
একটি যোগফলের ডেরিভেটিভ ডেরিভেটিভের যোগফলের সমান: (u + v)′ = u′ + v′। একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর বাইরে নেওয়া হয়: (C·u)′ = C·u′।
পণ্যের নিয়ম: (u·v)′ = u′·v + u·v′। ভাগফলের নিয়ম: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v²।
একটি যৌগিক ফাংশনের জন্য চেইন নিয়ম: প্রথমে বাইরের ফাংশনটি আলাদা করুন, তারপর ভিতরেরটির ডেরিভেটিভ দ্বারা গুণ করুন। উদাহরণস্বরূপ, (sin 2x)′ = cos(2x)·2।