অ্যান্টিডেরিভেটিভ — প্রতিটি ধাপের একটি বিশদ ভাঙ্গন এবং একটি গ্রাফ সহ
ফাংশন f(x)
অ্যান্টিডেরিভেটিভ
অ্যান্টিডেরিভেটিভ F(x) হল একটি ফাংশন যার ডেরিভেটিভ আসলটি ফিরিয়ে দেয়: F′(x) = f(x)। যেকোনো ধ্রুবক সি একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভের সাথে যোগ করা যেতে পারে, যে কারণে এটি সর্বদা লেখা হয়।
এটি কীভাবে গণনা করা হয়েছিল — ধাপে ধাপে
প্রতিটি ধাপে ব্যবহৃত কৌশলটির নাম দেওয়া হয় এবং প্রতিস্থাপন দেখায়, তাই সমাধানটি আপনার নোটবুকে অনুলিপি করা যেতে পারে।
ফাংশন এবং এর অ্যান্টিডেরিভেটিভের গ্রাফ
নীল বক্ররেখা হল ফাংশন f(x), কমলা হল অ্যান্টিডেরিভেটিভ F(x)। লিঙ্কটি পরীক্ষা করুন: যেখানে f(x) পজিটিভ হলে অ্যান্টিডেরিভেটিভ বৃদ্ধি পায়; যেখানে f(x) ঋণাত্মক তা হ্রাস পায়; যেখানে f(x) = 0 অ্যান্টিডেরিভেটিভের একটি চূড়া বা একটি উপত্যকা রয়েছে। এটি ডেরিভেটিভের সাথে তুলনা করা ঠিক বিপরীত সম্পর্ক।
অ্যান্টিডেরিভেটিভের সারণী
মূল সূত্র। C একটি নির্বিচারে ধ্রুবক। যেকোনো সারি যাচাই করা সহজ: ডান কলামটি আলাদা করুন এবং আপনি বামটি পাবেন।
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য — গ্রাফের অধীন এলাকা → · বিপরীত অপারেশন — ডেরিভেটিভ →
📚 তত্ত্ব: একীকরণ কৌশল
ইন্টিগ্রেশন হল ডিফারেন্সিয়েশনের বিপরীত অপারেশন। f এর জন্য একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ F খুঁজে বের করার অর্থ হল একটি ফাংশন বেছে নেওয়া যার ডেরিভেটিভ f সমান। চেক সবসময় একই: উত্তর আলাদা করুন।
রৈখিকতা: যোগফলের সমাকল সমাকলগুলির যোগফলের সমান, একটি ধ্রুবক গুণনীয়ক বাইরে আনা যায়। রৈখিক প্রতিস্থাপন: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — যখন x-এর পরিবর্তে একটি রৈখিক রাশি সমাকলের অধীনে থাকে।
অংশ দ্বারা সংহতকরণ: ∫u dv = u·v − ∫v du। এটি x·eˣ বা x·sin x এর মতো পণ্যগুলিতে প্রয়োগ করা হয়। প্রতিটি অখণ্ডকে প্রাথমিক ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না — উদাহরণস্বরূপ, ∫e^(−x²) dx-এর কোনো বন্ধ সূত্র নেই এবং এটাই স্বাভাবিক।